Реальные сигналы всегда имеют конечную длительность и ограниченную полосу частот. Граничные частоты спектра определяются свойствами системы передаче и самим получателем. Так, при передаче дискретных сообщений полоса частот определяется скоростью передачи, при передаче телевизионного изображения — принятым стандартом четкости (числом строк) и т. д.
Для функций с ограниченным спектром В. А. Котельников доказал замечательную теорему, лежащую в основе дискретизации непрерывных сигналов. Согласно этой теореме функция f(t), не содержащая частот выше F, полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга на 
, сек.
Доказательство теоремы состоит в следующем. Пусть функция f(t) имеет ограниченный спектр:
На конечном интервале .(-2πF,2πF) функцию S(iω) можно представить в виде ряда Фурье по аргументу ω. Согласно (2.67) имеем
Коэффициенты Фурье в этом случае запишутся в виде
Так как S(iω) есть преобразование Фурье для f(t), то обратно f(t) есть преобразование Фурье для S(iω):
так как S(iω) равно нулю вне указанных пределов. Если положить t=
получим
Сравнивая полученное выражение с выражением для 
, видим, что
Следовательно, 
Так как f(t) однозначно определяется своим спектром S(iω), то из полученного соотношения следует, что f(t), как иS(iω), однозначно определяется отсчетами f(kΔt). Это и доказывает теорему Котельникова.
Выражая функцию f(t) через ее спектр S(iω), получим
или, изменяя порядок действия,
Отсюда после интегрирования находим
(2.92)
Полученное выражение представляет собой разложение непрерывной функции f(t) в ряд по ортогональным функциям вида 
Величины f(kΔt) называются отсчетами функции f(t). Они определяют значения исходной функции f(t) в дискретные моменты времени kΔt. Множитель 
называется функцией отсчетов. Если обозначить τ=t—kΔt, то функция отсчетов примет вид
(2.93)
Рис. 2.8. Функция отсчетов
График этой функции приведен на рис. 2.8. Функция отсчетов принимает наибольшее значение, равное единице, в моменты времени t=kΔt(=0) и обращается в нуль в моменты времени t=(k±m)Δt где т-1,2, Ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна 1/F. Спектр функции отсчетов является равномерным в полосе (-FdF,) и равен нулю вне этой полосы. Действительно,
Модуль 
Энергия сигнала через отсчетные значения выражается следующим образом:
(2.94)
Если полоса частот сигнала f(t) неограниченно расширяется, то Δt будет неограниченно уменьшаться и в пределе при 
функция отсчетов стремится к дельта-функции
), а ряд Котельникова (2.92) превращается в интеграл
(2.95)
Свертка дельта-функции с любой функцией f(t) дает равенство
из которого видно, что интеграл (2.95) не изменится от замены функции f(t) ее значением 
. Следовательно, (2.95) преобразовывается в интеграл Дюмеля, который обычно записывается
(2.96)
Вернемся к выражению ряда Котельникова (2.92). Каждое слагаемое этого разложения по физическому смыслу представляет отклик идеального фильтра нижних частот, с частотой среза F на весьма короткий импульс, приходящий в момент 
и имеющий площадь, равную мгновенному значению функции f(t) в тот же момент. Отсюда следует, что при передаче сигнала f(t) с ограниченным спектром по каналу связи необходимо через равные интервалы Δt=1/2F взять отсчеты мгновенных значений сигнала и передать по каналу короткие импульсы, площади которых пропорциональны этим отсчетам. На приемном конце эти импульсы пропускаются через фильтр нижних частот и тем самым восстанавливается исходный сигнал f(t) как сумма откликов фильтра.
Сигнал конечной длительности Т, очевидно, будет определяться v=
= 2TF отсчетами. Строго говоря, не может существовать функции, ограниченной во времени и одновременно обладающей ограниченным спектром. Однако возможно существование функции, для которой почти вся энергия сосредоточена в конечном интервале времени ,и ограниченной полосе частот. Сигналы связи в большинстве случаев являются функциями такого типа. В этом случае разложение в ряд Котельникова будет давать некоторую погрешность 
~
, где Е — полная энергия сигнала и ΔE энергия той части спектра сигнала, которая расположена вне полосы F. При разложении сигнала в ряд Фурье мы тоже получили v=2TF. Таким образом, сигнал с ограниченным спектром F и конечной длительностью. Т определяется 2TF числами независимо от того, что собой представляют эти числа — мгновенные ли значения сигнала в точках отсчета либо спектральные коэффициенты разложения в ряд Фурье.
Теорема Котельникова позволяет единым образом рассматривать передачу любого сигнала (дискретного и непрерывного) как передачу чисел. Эта теорема лежит в основе всех видов импульсной модуляции. Согласно этой теореме необходимая частота следования импульсов F
, называемая тактовой частотой, должна определяться из условия
, где Fm — верхняя граничная частота спектра передаваемого сообщения.
Теорема Котельникова может быть обобщена и на случай функций, спектр которых не начинается с нулевой частоты. В формулировке автора эта теорема гласит: «Любую функцию f(t), состоящую из частот от f
до f
, можнo передавать с любой точностью при помощи чисел, передаваемых друг за другом через 
, сек. В этом случае функция f(t) на оси времени определяется через интервалы 
, где F=
.При этом в каждой точке отсчитываются две величины: амплитуда и фаза. Если длительность сигнала равна Т, то количество отсчетных точек на оси времени
равно =TF, а общее количество отсчетов (амплитуд и фаз) равно v=2FT. Функцию f(t), ограниченную частотами f
и f можно представить следующим рядом:
(2.97)
где 
и 
отсчетные значения соответственно амплитуды и фазы сигнала;
среднее значение круговой частоты спектра сигнала. Функция отсчетов в этом случае представляет собой модулированное колебание с несущей, равной 
, и огибающей, определяемой функцией вида