6.8.1. Коды Хэмминга
Коды Хэмминга (Hamming codes) — это простой класс блочных кодов, которые имеют следующую структуру:
, (6.71)
где т = 2,3,… . Минимальное расстояние этих кодов равно 3, поэтому, согласно уравнениям (6.44) и (6.47), они способны исправлять все однобитовые ошибки или определять все ошибочные комбинации из двух или менее ошибок в блоке. Декодирование с помощью синдромов особенно хорошо подходит к кодам Хэмминга. Фактически синдром можно превратить в двоичный указатель местоположения ошибки [5]. Хотя коды Хэмминга не являются слишком мощными, они принадлежат к очень ограниченному классу блочных кодов, называемых совершенными; их особенности описывались в разделе 6.5.4.
Если предположить, что используется жесткое декодирование, вероятность появления битовой ошибки можно записать с помощью уравнения (6.46).
Здесь р — вероятность ошибочного приема канального символа (вероятность перехода в двоичном симметричном канале). Вместо уравнения (6.72) мы можем использовать другое эквивалентное уравнение (это уравнение (Г. 16), которое выводится в приложении Г).
(6.73)
На рис. 6.21 приведен график зависимости вероятности ошибки в декодированном бите от вероятности ошибки в канальном символе, на котором сравниваются разные блочные коды. Для кодов Хэмминга на графике взяты значения т = 3, 4 и 5 или (n, k) = (7,4), (15,11), (31,26). Для описания гауссового канала с использованием когерентной демодуляции сигналов BPSK, вероятность ошибки в канальном символе можно выразить через 
как это было сделано в уравнении (4.79).
(6.74)
