4.6.1. Квадратурная реализация модулятора
Описание реальных модуляторов и демодуляторов облегчается при использовании комплексной формы записи, введенной в разделе 4.2.1. Любой реальный полосовой сигнал s(t) можно представить в комплексной форме как
(4.57)
где g(t) — комплексная огибающая (complex envelop), которую можно записать следующим образом.
(4.58)
Амплитуда комплексной огибающей выражается как
, (4.59)
а фаза определяется следующим образом.
(4.60)
В формуле (4.57) g(t) можно называть полосовым сообщением или данными в комплексной форме, а 
— несущей в комплексной форме. Произведение этих двух величин представляет операцию модулирования, a s(t), действительная часть произведения, — это переданный сигнал. Следовательно, используя формулы (4.4), (4.57) и (4.58), s(t) можно выразить следующим образом.
(4.61)
Отметим, что модулирование сигналов, выраженное в общей форме (а + ib), умноженное на (с + id), дает сигнал с переменой знака (в квадратурном члене несущей волны) вида ас — bd.
4.6.1. Квадратурная реализация модулятора
Рассмотрим узкополосный сигнал g(t), который представлен последовательностью идеальных импульсов x(t) и y(t), передаваемых в дискретные моменты времени k = 1,2,…. Таким образом, g(t), x(t) и y(t) в уравнении (4.58) можно записывать как gk, xk и yt. Пусть значения амплитуд импульсов равны xk=yk=0,101A. При этом комплексную огибающую можно выразить в дискретной форме следующим образом.
(4.62)
Из комплексной алгебры знаем, что 
, но с практической точки зрения i можно рассматривать как «метку», напоминающую, что мы не можем использовать обычное сложение при группировке членов в формуле (4.62). Далее мы будем рассматривать синфазную и квадратурную модуляции, xk и yt, как упорядоченную пару. Модулятор, реализованный по квадратурному принципу, показан на рис. 4.21, где можно видеть, что импульс xk умножается на 
(синфазный компонент несущей), а импульс yt — на 
(квадратурный компонент несущей). Процесс модулирования можно кратко описать как умножение комплексной огибающей на с последующей передачей действительной части произведения. Итак, записываем следующее.
(4.63)
Снова напомним, что квадратурный член несущей включает перемену знака в процессе модуляции. Если в качестве опорного сигнала использовать 
, то при передаче сигнала s(t) (уравнение (4.63)) происходит сдвиг опоры на π/4. Если же в качестве опорного сигнала применить 
, то переданный сигнал s(t) в уравнении (4.63) приводит к запаздыванию опоры на π/4. Графическая иллюстрация сказанного приведена на рис. 4.22
Рис. 4.21. Модулятор работающий по квадратурному принципу
4.6.2. Пример модулятора D8PSK
На рис. 4.23 изображена квадратурная реализация модулятора дифференциальной восьмифазной манипуляции (differential 8-PSK — D8PSK). Поскольку модуляция является 8-ричной, каждому информационному вектору 
, который можно записать как
(4.64)
присваивается 3-битовое сообщение (xk, yk, zk).
Рис. 4.22. Опережение/запаздывание синусоид
Рис. 4.23. Квадратурная реализация модулятора D8PSK
Сложение текущего кодируемого сообщения, выраженного разностью фаз 
с предыдущей фазой 
обеспечивает дифференциальное кодирование сообщений. Последовательность векторов, созданная с использованием уравнения (4.64), подобна результатам дифференциального кодирования, полученного с помощью процедуры, описанной в разделе 4.5.2. Можно заметить (рис. 4.23), что в результате кодирования 3-битовых последовательностей сообщений разностями фаз получаем не двоичную последовательность от 000 до 111, а специальный код, называемый кодом Грея (Gray code). (Преимущества использования подобного кода приведены в разделе 4.9.4.)
Пусть на вход модулятора, изображенного на рис. 4.23, в моменты времени k= 1, 2, 3, 4 поступают информационные последовательности 110, 001, 110, 010. Далее используем таблицу кодирования данных, приведенную на рис. 4.23, формулу (4.64) и, кроме того, положим начальную фазу (момент времени k = 0) равной нулю: 
= 0. В момент времени k = 1 дифференциальная информационная фаза, соответствующая набору 
= 110, равна 
= 4π/4 = π. Считая амплитуду вращающегося вектора единичной, синфазный (I) и квадратурный (Q) узкополосные импульсы равны -1 и 0. Как показано на рис. 4.23, форму этих импульсов обычно задает фильтр (такой, как фильтр с характеристикой типа приподнятого косинуса).
Для момента k = 2 таблица на рис. 4.23 показывает, что сообщение 001 кодируется сдвигом фаз 
= π/4. Следовательно, согласно формуле (4.64), вторая дифференциальная информационная фаза равна 
, и в момент k=2 синфазный и квадратурный узкополосные импульсы равны, соответственно, xk = -0,707 и yk = -0,707. Переданный сигнал имеет вид, приведенный в формуле (4.61).
(4.65)
Для сигнального множества, которое может представляться в координатах «фаза-амплитуда», такого как MPSK или MQAM, уравнение (4.65) позволяет сделать интересное наблюдение. Из него видно, что квадратурная реализация передатчика сводит все типы передачи сигналов к единственной амплитудной модуляции. Каждый вектор на плоскости передается посредством амплитудной модуляции его синфазной и квадратурной проекций на синусоидный и косинусоидный компоненты его несущей. В каждом случае процесс формирования импульса считается идеальным, т.е. предполагается, что информационные импульсы имеют идеальные прямоугольные формы. Таким образом, используя уравнение (4.65) для момента k = 2, при xk = -0,707 и yk = —0,707, можно записать переданный сигнал s(t) следующим образом.
(4.66)
4.6.3. Пример демодулятора D8PSK
В предыдущем разделе описание квадратурной реализации модулятора начиналось с умножения комплексной огибающей (узкополосного сообщения) на с последующей передачей действительной части произведения s(t), описанного в формуле (4.63). Демодулятор подобной схемы включает обратный процесс, т.е. умножение принятого полосового сигнала на 
с целью восстановления узкополосного сигнала. В левой части рис. 4.24 в упрощенном виде показан модулятор, изображенный на рис. 4.23, и сигнал 
, переданный в момент времени k = 2 (продолжаем использовать пример, описанный в предыдущем разделе). В правой части рис. 4.24 показана квадратурная реализация демодулятора.
Рис. 4.24. Пример модулятора/демодулятора
Отметим тонкое отличие между членом 
в модуляторе и демодуляторе. В модуляторе знак «минус» появляется при определении действительной части комплексного сигнала (произведения комплексной огибающей и комплексной несущей). В демодуляторе член появляется при умножении полосового сигнала на сопряженное несущей модулятора. Демодуляция является когерентной, если фаза восстанавливается. Для упрощения записи основных соотношений процесса мы пренебрегаем шумом. Итак, после синфазного умножения в демодуляторе на в точке А получаем следующий сигнал.
(4.67)
Используя тригонометрические соотношения, приведенные в формулах (Г.7) и (Г.9), получаем следующее.
(4.68)
После фильтрации с использованием фильтра нижних частот (low-pass filter — LPF) в точке А’ восстанавливается идеальный отрицательный импульс.
(с точностью до масштабного коэффициента) (4.69)
Подобным образом после квадратурного умножения в демодуляторе на в точке В получаем сигнал.
(4.70)
После прохождения сигналом фильтра нижних частот в точке В’ восстанавливается идеальный отрицательный импульс.
(с точностью до масштабного коэффициента) (4.71)
Таким образом, видим, что в точках A’ и В’ (идеальные) дифференциальные информационные импульсы для синфазного и квадратурного каналов равны -0,707. Поскольку модулятор/демодулятор является дифференциальным, для нашего примера k=2 получаем следующее.
(4.72)
Будем считать, что в предыдущий момент времени k = 1 демодулятор правильно определил, что фаза сигнала равна π. Тогда из формулы (4.72) можем получить следующее.
(4.73)
Вернувшись к таблице модуляции на рис. 4.23, видим, что данной фазе соответствует информационная последовательность 
= 001, что совпадает с данными, посланными в момент времени k = 2.