1.1. Обработка сигналов в цифровой связи
1.1.2. Типичная блочная диаграмма и основные преобразования
1.2.1. Детерминированные и случайные сигналы
1.2.2. Периодические и непериодические сигналы
1.2.3. Аналоговые и дискретные сигналы
1.5.2.1. Статистическое среднее случайного процесса
1.5.2.3. Автокорреляция случайных процессов, стационарных в широком смысле
1.5.3. Усреднение по времени и эргодичность
1.5.4. Спектральная плотность мощности и автокорреляция случайного процесса
1.6. Передача сигнала через линейные системы
1.6.1. Импульсная характеристика
1.6.2. Частотная передаточная функция
1.7. Ширина полосы при передаче цифровых данных
1.1. Обработка сигналов в цифровой связи
1.1.1. Почему «цифровая»
Почему в военных и коммерческих системах связи используются «цифры»? Существует множество причин. Основным преимуществом такого подхода является легкость восстановления цифровых сигналов по сравнению с аналоговыми. Рассмотрим рис. 1.1, на котором представлен идеальный двоичный цифровой импульс, распространяющийся по каналу передачи данных. На форму сигнала влияют два основных механизма: (1) поскольку все каналы и линии передачи имеют неидеальную частотную характеристику, идеальный импульс искажается; и (2) нежелательные электрические шумы или другое воздействие со стороны еще больше искажает форму импульса. Чем протяженнее канал, тем существеннее эти механизмы искажают импульс (рис. 1.1). В тот момент, когда переданный импульс все еще может быть достоверно определен (прежде чем он ухудшится до неоднозначного состояния), импульс усиливается цифровым усилителем, восстанавливающим его первоначальную идеальную форму. Импульс «возрождается» или восстанавливается. За восстановление сигнала отвечают регенеративные ретрансляторы, расположенные в канале связи на определенном расстоянии друг от друга.
Цифровые каналы менее подвержены искажению и интерференции, чем аналоговые. Поскольку двоичные цифровые каналы дают значимый сигнал только при работе в одном из двух состояний — включенном или выключенном — возмущение должно быть достаточно большим, чтобы перевести операционную точку канала из одного состояния в другое. Наличие всего двух состояний облегчает восстановление сигнала и, следовательно, предотвращает накопление в процессе передачи шумов или других возмущений. Аналоговые сигналы, наоборот, не являются сигналами с двумя состояниями; они могут принимать бесконечное множество форм. В аналоговых каналах даже небольшое возмущение может неузнаваемо исказить сигнал. После искажения аналогового сигнала возмущение нельзя убрать путем усиления. Поскольку накопление шума неразрывно связано с аналоговыми сигналами, как следствие, они не могут воспроизводиться идеально. При использовании цифровых технологий очень низкая частота возникновения ошибок плюс применение процедур выявления и коррекции ошибок делают возможным высокую точность сигнала. Остается только отметить, что с аналоговыми технологиями подобные процедуры недоступны.
Рис.1.1. Искажение и восстановление импульса
Существуют и другие важные преимущества цифровой связи. Цифровые каналы надежнее и могут производиться по более низким ценам, чем аналоговые. Кроме того, цифровое программное обеспечение позволяет более гибкую реализацию, чем аналоговое (например, микропроцессоры, цифровая коммутация и большие интегральные схемы (large-scale integrated circuit — LSI)). Использование цифровых сигналов и уплотнения с временным разделением (time-division multiplexing — TDM) проще применения аналоговых сигналов и уплотнения с частотным разделением (frequency-division multiplexing — FDM). При передаче и коммутации различные типы цифровых сигналов (данные, телеграф, телефон, телевидение) могут рассматриваться как идентичные: ведь бит — это и есть бит. Кроме того, для удобства коммутации и обработки, цифровые сообщения могут группироваться в автономные единицы, называемые пакетами. В цифровые технологии естественным образом внедряются функции, защищающие от интерференции и подавления сигнала либо обеспечивающие шифрование или секретность. (Подобные технологии рассматриваются в главах 12 и 14.) Кроме того, обмен данными в основном производится между двумя компьютерами или между компьютером и цифровыми устройствами или терминалом. Подобные цифровые оконечные устройства лучше (и естественнее!) обслуживаются цифровыми каналами связи.
Чем же мы платим за преимущества систем цифровой связи? Цифровые системы требуют более интенсивной обработки, чем аналоговые. Кроме того, для цифровых систем необходимо выделение значительной части ресурсов для синхронизации на различных уровнях (см. главу 10). Аналоговые системы, наоборот, легче синхронизировать. Еще одним недостатком систем цифровой связи является то, что ухудшение качества носит пороговый характер. Если отношение сигнал/шум падает ниже некоторого порога, качество обслуживания может внезапно измениться от очень хорошего до очень плохого. В аналоговых же системах ухудшение качества происходит более плавно.
1.1.2. Типичная блочная диаграмма и основные преобразования
Функциональная блочная диаграмма, приведенная на рис. 1.2, иллюстрирует распространение сигнала и этапы его обработки в типичной системе цифровой связи (DCS). Верхние блоки — форматирование, кодирование источника, шифрование, канальное кодирование, уплотнение, импульсная модуляция, полосовая модуляция, расширение спектра и множественный доступ — отражают преобразования сигнала на пути от источника к передатчику. Нижние блоки диаграммы — преобразования сигнала на пути от приемника к получателю информации, и, по сути, они противоположны верхним блокам. Блоки модуляции и демодуляции/обнаружения вместе называются модемом. Термин «модем» часто объединяет несколько этапов обработки сигналов, показанных на рис. 1.2; в этом случае модем можно представлять как «мозг» системы. Передатчик и приемник можно рассматривать как «мускулы» системы. Для беспроводных приложений передатчик состоит из схемы повышения частоты в область радиочастот (radio frequency — RF), усилителя мощности и антенны, а приемник — из антенны и малошумящего усилителя (low-noise amplifier — LNA). Обратное понижение частоты производится на выходе приемника и/или демодулятора.
На рис. 1.2 иллюстрируется соответствие блоков верхней (передающей) и нижней (принимающей) частей системы. Этапы обработки сигнала, имеющие место в передатчике, являются преимущественно обратными к этапам приемника. На рис. 1.2 исходная информация преобразуется в двоичные цифры (биты); после этого биты группируются в цифровые сообщения или символы сообщений. Каждый такой символ (
где 
) можно рассматривать как элемент конечного алфавита, содержащего М элементов. Следовательно, для М=2 символ сообщения является бинарным (т.е. состоит из одного бита). Несмотря на то что бинарные символы можно классифицировать как М-арные (с М=2), обычно название «М-арный» используется для случаев М>2; значит, такие символы состоят из последовательности двух или большего числа битов. (Сравните подобный конечный алфавит систем DCS с тем, что мы имеем в аналоговых системах, когда сигнал сообщения является элементом бесконечного множества возможных сигналов.) Для систем, использующих канальное кодирование (коды коррекции ошибок), последовательность символов сообщений преобразуется в последовательность канальных символов (кодовых символов), и каждый канальный символ обозначается 
. Поскольку символы сообщений или канальные символы могут состоять из одного бита или группы битов, последовательность подобных символов называется потоком битов (рис. 1.2).
Рассмотрим ключевые блоки обработки сигналов, изображенные на рис. 1.2; необходимыми для систем DCS являются только этапы форматирования, модуляции, демодуляции/обнаружения и синхронизации.
Форматирование преобразовывает исходную информацию в биты, обеспечивая, таким образом, совместимость информации и функций обработки сигналов с системой DCS. С этой точки рисунка и вплоть до блока импульсной модуляции информация остается в форме потока битов.
Рис. 1.2. Блочная диаграмма типичной системы цифровой связи
Модуляция — это процесс, посредством которого символы сообщений или канальные символы (если используется канальное кодирование) преобразуются в сигналы, совместимые с требованиями, налагаемыми каналом передачи данных. Импульсная модуляция — это еще один необходимый этап, поскольку каждый символ, который требуется передать, вначале нужно преобразовать из двоичного представления (уровни напряжений представляют двоичные нули и единицы) в форму узкополосного сигнала. Термин «узкополосный» (baseband) определяет сигнал, спектр которого начинается от (или около) постоянной составляющей и заканчивается некоторым конечным значением (обычно, не более нескольких мегагерц). Блок импульсно-кодовой модуляции обычно включает фильтрацию, направленную на минимизацию полосы передачи. При применении импульсной модуляции к двоичным символам результирующий двоичный сигнал называется сигналом в кодировке PCM (pulse-code modulation — импульсно-кодовая модуляция). Существует несколько типов сигналов РСМ (описанных в главе 2); в приложениях телефонной связи эти сигналы часто называются кодами канала. При применении импульсной модуляции к небинарным символам результирующий сигнал именуется М-арным импульсно-модулированным. Существует несколько типов подобных сигналов, которые также описаны в главе 2, где основное внимание уделяется амплитудно-импульсной модуляции (pulse-amplitude modulation — РАМ). После импульсной модуляции каждый символ сообщения или канальный символ принимает форму полосового сигнала 
, где . В любой электронной реализации поток битов, предшествующий импульсной модуляции, представляется уровнями напряжений. Может возникнуть вопрос, почему существует отдельный блок для импульсной модуляции, когда фактически уровни напряжения для двоичных нулей и единиц уже можно рассматривать как идеальные прямоугольные импульсы, длительность каждого из которых равна времени передачи одного бита? Существует два важных отличия между подобными уровнями напряжения и полосовыми сигналами, используемыми для модуляции. Во-первых, блок импульсной модуляций позволяет использовать бинарные и М-арные сигналы. В разделе 2.8.2 описаны различные полезные параметры этих типов сигналов. Во-вторых, фильтрация, производимая в блоке импульсной модуляции, формирует импульсы, длительность которых больше времени передачи одного бита. Фильтрация позволяет использовать импульсы большей длительности; таким образом, импульсы расширяются на соседние временные интервалы передачи битов. Этот процесс иногда называется формированием импульсов; он используется для поддержания полосы передачи в пределах некоторой желаемой области спектра.
Для приложений, включающих передачу в диапазоне радиочастот, следующим важным этапом является полосовая модуляция (bandpass modulation); она необходима всегда, когда среда передачи не поддерживает распространение сигналов, имеющих форму импульсов. В таких случаях среда требует полосового сигнала 
, где . Термин «полосовой» (bandpass) используется для отражения того, что узкополосный сигнал сдвинут несущей волной на частоту, гораздо большую спектральных составляющих . По мере распространения сигнала по каналу, на него воздействуют характеристики канала, которые можно выразить через импульсную характеристику 
(см. раздел 1.6.1). Кроме того, в различных точках вдоль маршрута сигнала дополнительные случайные шумы искажают принятый сигнал 
, поэтому прием должен выражаться через поврежденную версию сигнала , поступающего от передатчика. Принятый сигнал можно выразить следующим образом:
, (1.1)
где знак «*» представляет собой операцию свертки (см. приложение A), а 
— процесс шума (см. раздел 1.5.5).
В обратном направлении входной каскад приемника и/или демодулятор обеспечивают понижение частоты каждого полосового сигнала . В качестве подготовки к обнаружению демодулятор восстанавливает в виде оптимального огибающего узкополосного сигнала 
. Обычно с приемником и демодулятором связано несколько фильтров — фильтрование производится для удаления нежелательных высокочастотных составляющих (в процессе преобразования полосового сигнала в узкополосный) и формирования импульса. Выравнивание можно описать как разновидность фильтрации, используемой в демодуляторе (или после демодулятора) для удаления всех эффектов ухудшения качества сигнала, причиной которых мог быть канал. Выравнивание (equalization) необходимо в том случае, если импульсная характеристика канала настолько плоха, что принимаемый сигнал сильно искажен. Эквалайзер (устройство выравнивания) реализуется для компенсации (т.е. для удаления или ослабления) всех искажений сигнала, вызванных неидеальной характеристикой . И последнее, этап дискретизации преобразовывает сформированный импульс в выборку 
для восстановления (приблизительно) символа канала 
или символа сообщения 
(если не используется канальное кодирование). Некоторые авторы используют термины «демодуляция» и «обнаружение» как синонимы. В данной книге под демодуляцией (demodulation) подразумевается восстановление сигнала (полосового импульса), а под обнаружением (detection) — принятие решения относительно цифрового значения этого сигнала.
Остальные этапы обработки сигнала в модеме являются необязательными и направлены на удовлетворение специфических системных нужд. Кодирование источника (source coding) — это преобразование аналогового сигнала в цифровой (для аналоговых источников) и удаление избыточной (ненужной) информации. Отметим, что типичная система DCS может использовать либо кодирование источника (для оцифровывания и сжатия исходной информации), либо более простое преобразование форматирование (только для оцифровывания). Система не может одновременно применять и кодирование источника, и форматирование, поскольку первое уже включает необходимый этап оцифровывания информации. Шифрование, которое используется для обеспечения секретности связи, предотвращает понимание сообщения несанкционированным пользователем и введение в систему ложных сообщений. Канальное кодирование (channel coding) при данной скорости передачи данных может снизить вероятность ошибки РЕ или уменьшить отношение сигнал/шум, необходимое для получения желаемой вероятности РЕ за счет увеличения полосы передачи или усложнения декодера. Процедуры уплотнения (multiplexing) и множественного доступа (multiple access) объединяют сигналы, которые могут иметь различные характеристики или могут поступать от разных источников, с тем, чтобы они могли совместно использовать часть ресурсов связи (например, спектр, время). Расширение частоты (frequency spreading) может давать сигнал, относительно неуязвимый для интерференции (как естественной, так и умышленной), и может использоваться для повышения конфиденциальности сообщающихся сторон. Также оно является ценной технологией, используемой для множественного доступа.
Блоки обработки сигналов, показанные на рис. 1.2, представляют типичную схему системы цифровой связи; впрочем, эти блоки иногда реализуются в несколько ином порядке. Например, уплотнение может происходить до канального кодирования или модуляции либо — при двухэтапном процессе модуляции (поднесущая и несущая) — оно может выполняться между двумя этапами модуляции. Подобным образом блок расширения частоты может находиться в различных местах верхнего ряда рис. 1.2; точное его местонахождение зависит от конкретной используемой технологии. Синхронизация и ее ключевой элемент, синхронизирующий сигнал, задействованы во всех этапах обработки сигнала в системе DCS. Для простоты блок синхронизации на рис. 1.2 показан безотносительно к чему-либо, хотя фактически он участвует в регулировании операций практически в каждом блоке, приведенном на рисунке.
На рис. 1.3 показаны основные функции обработки сигналов (которые можно рассматривать как преобразования сигнала), разбитые на следующие девять групп.
Рис.1.3. Основные преобразования цифровой связи
1. Форматирование и кодирование источника
2. Узкополосная передача сигналов
3. Полосовая передача сигналов
4. Выравнивание
5. Канальное кодирование
6. Уплотнение и множественный доступ
7. Расширение спектра
8. Шифрование
9. Синхронизация
На рис. 1.3 блок Узкополосная передача сигналов содержит перечень бинарных альтернатив при использовании модуляции РСМ или линейных кодов. В этом блоке также указана небинарная категория сигналов, называемая М-арной импульсной модуляцией. Еще одно преобразование на рис. 1.3, помеченное как Полосовая передача сигналов, разделено на два основных блока, когерентный и некогерентный. Демодуляция обычно выполняется с помощью опорных сигналов. При использовании известных сигналов в качестве меры всех параметров сигнала (особенно фазы) процесс демодуляции называется когерентным; когда информация о фазе не используется, процесс именуется некогерентным.
Канальное кодирование связано с методами, используемыми для улучшения цифровых сигналов, которые в результате становятся менее уязвимыми к таким факторам ухудшения качества, как шум, замирание и подавление сигнала. На рис. 1.3 канальное кодирование разделено на два блока, блок кодирования формой сигнала и блок структурированных последовательностей. Кодирование формой сигнала включает использование новых сигналов, привносящих улучшенное качество обнаружения по сравнению с исходным сигналом. Структурированные последовательности включают применение дополнительных битов для определения наличия ошибки, вызванной шумом в канале. Одна из таких технологий, автоматический запрос повторной передачи (automatic repeat request — ARQ), просто распознает появление ошибки и запрашивает отправителя повторно передать сообщение; другая технология, известная как прямая коррекция ошибок (forward error correction — FEC), позволяет автоматически исправлять ошибки (с определенными ограничениями). При рассмотрении структурированных последовательностей мы обсудим три распространенных метода — блочное, сверточное и турбокодирование.
В цифровой связи синхронизация включает вычисление как времени, так и частоты. Как показано на рис. 1.3, синхронизация выполняется на пяти уровнях. Эталонные частоты когерентных систем требуется синхронизировать с несущей (и возможно, поднесущей) по частоте и фазе. Для некогерентных систем синхронизация фазы не обязательна. Основной процесс синхронизации по времени — это символьная синхронизация (или битовая синхронизация для бинарных символов). Демодулятор и детектор должны знать, когда начинать и заканчивать процесс обнаружения символа и бита; ошибка синхронизации приводит к снижению эффективности обнаружения. Следующий уровень синхронизации по времени, кадровая синхронизация, позволяет перестраивать сообщения. И последний уровень, сетевая синхронизация, позволяет скоординировать действия с другими пользователями с целью эффективного использования ресурсов.
1.1.3. Основная терминология области цифровой связи
Ниже приведены некоторые основные термины, часто используемые в области цифровой связи.
Источник информации (information source). Устройство, передающее информацию посредством системы DCS. Источник информации может быть аналоговым или дискретным. Выход аналогового источника может принимать любое значение из непрерывного диапазона амплитуд, тогда как выход дискретного источника информации — значения из конечного множества амплитуд. Аналоговые источники информации преобразуются в цифровые посредством дискретизации или квантования. Методы дискретизации и квантования, называемые форматированием и кодированием источника (рис. 1.3).
Текстовое сообщение (textual message). Последовательность символов (рис. 1.4, а). При цифровой передаче данных сообщение представляет собой последовательность цифр или символов, принадлежащих конечному набору символов или алфавиту.
Знак (Character). Элемент алфавита или набора символов (рис. 1.4, б). Знаки могут отображаться в последовательность двоичных цифр. Существует несколько стандартизованных кодов, используемых для знакового кодирования, в том числе код ASCII (American Standard Code for Information Interchange — Американский стандартный код для обмена информацией), код EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code — расширенный двоичный код обмена информацией), код Холлерита (Hollerith code), код Бодо (Baudot code), код Муррея (Murray code) и код (азбука) Морзе (Morse code).
Рис.1.4. Иллюстрация терминов: а) текстовые сообщения; б) символы;
в) поток битов( 7-битовый код ASCII); г) символы 
, 
;
д) полосовой цифровой сигнал 
Двоичная цифра (binary digit) (бит) (bit). Фундаментальная единица информации для всех цифровых систем. Термин «бит» также используется как единица объема информации, что описывается в главе 9.
Поток битов (bit stream). Последовательность двоичных цифр (нулей и единиц). Поток битов часто называют узкополосным (baseband) сигналом; это подразумевает, что его спектральные составляющие размещены от (или около) постоянной составляющей до некоторого конечного значения, обычно не превышающего несколько мегагерц. На рис. 1.4, в сообщение «HOW» представлено с использованием семибитового кода ASCII, а поток битов показан в форме двухуровневых импульсов. Последовательность импульсов изображена посредством крайне стилизованных (идеально прямоугольных) сигналов с промежутками между соседними импульсами. В реальной системе импульсы никогда не будут выглядеть так, поскольку подобные промежутки абсолютно бесполезны. При данной скорости передачи данных промежутки увеличат ширину полосы, необходимую для передачи; или, при данной ширине полосы, они увеличат временную задержку, необходимую для получения сообщения.
Символ (symbol) (цифровое сообщение) (digital message). Символ — это группа из k бит, рассматриваемых как единое целое. Далее мы будем называть этот блок символом сообщения (message symbol) (
) из конечного набора символов или алфавита (рис. 1.4, г.) Размер алфавита М равен 
, где k — число битов в символе. При узкополосной передаче каждый из символов будет представлен одним из набора узкополосных импульсных сигналов 
. Иногда при передаче последовательности таких импульсов для выражения скорости передачи импульсов (скорости передачи символов) используется единица бод (baud). Для типичной полосовой (bandpass) передачи каждый импульс будет представляться одним из набора полосовых импульсных сигналов 
. Таким образом, для беспроводных систем символ посылается путем передачи цифрового сигнала 
в течение Т секунд. Следующий символ посылается в течение следующего временного интервала, Т. То, что набор символов, передаваемых системой DCS, является конечным, и есть главное отличие этих систем от систем аналоговой связи. Приемник DCS должен всего лишь определить, какой из М возможных сигналов был передан; тогда как аналоговый приемник должен точно определять значение, принадлежащее непрерывному диапазону сигналов.
Цифровой сигнал (digital waveform). Описываемый уровнем напряжения или тока, сигнал (импульс — для узкополосной передачи или синусоида — для полосовой передачи), представляющий цифровой символ. Характеристики сигнала (для импульсов — амплитуда, длительность и расположение или для синусоиды — амплитуда, частота и фаза) позволяют его идентифицировать как один из символов конечного алфавита. На рис. 1.4, д приведен пример полосового цифрового сигнала. Хотя сигнал является синусоидальным и, следовательно, имеет аналоговый вид, все же он именуется цифровым, поскольку кодирует цифровую информацию. На данном рисунке цифровое значение указывается посредством передачи в течение каждого интервала времени Т сигнала определенной частоты.
Скорость передачи данных (data rate). Эта величина в битах в секунду (бит/с) дается формулой 
(бит/с), где k бит определяют символ из 
— символьного алфавита, а Т — это длительность к-битового символа.
1.1.4. Цифровые и аналоговые критерии производительности
Принципиальное отличие систем аналоговой и цифровой связи связано со способом оценки их производительности. Сигналы аналоговых систем составляют континуум, так что приемник должен работать с бесконечным числом возможных сигналов. Критерием производительности аналоговых систем связи является точность, например отношение сигнал/шум, процент искажения или ожидаемая среднеквадратическая ошибка между переданным и принятым сигналами.
В отличие от аналоговых, цифровые системы связи передают сигналы, представляющие цифры. Эти цифры формируют конечный набор или алфавит, и этот набор известен приемнику априорно. Критерием качества цифровых систем связи является вероятность неверного обнаружения цифры или вероятность ошибки (
).
1.2. Классификация сигналов
1.2.1. Детерминированные и случайные сигналы
Сигнал можно классифицировать как детерминированный (при отсутствии неопределенности относительно его значения в любой момент времени) или случайный, в противном случае. Детерминированные сигналы моделируются математическим выражением 
. Для случайного сигнала такое выражение написать невозможно. Впрочем, при наблюдении случайного сигнала (также называемого случайным процессом) в течение достаточно длительного периода времени, могут отмечаться некоторые закономерности, которые можно описать через вероятности и среднее статистическое. Такая модель, в форме вероятностного описания случайного процесса, особенно полезна для описания характеристик сигналов и шумов в системах связи.
1.2.2. Периодические и непериодические сигналы
Сигнал 
называется периодическим во времени, если существует постоянное 
, такое, что
для 
(1.2)
где через t обозначено время. Наименьшее значение 
, удовлетворяющее это условие, называется периодом сигнала . Период определяет длительность одного полного цикла функции . Сигнал, для которого не существует значения , удовлетворяющего уравнение (1.2), именуется непериодическим.
1.2.3. Аналоговые и дискретные сигналы
Аналоговый сигнал является непрерывной функцией времени, т.е. однозначно определяется для всех t. Электрический аналоговый сигнал возникает тогда, когда физический сигнал (например, речь) некоторым устройством преобразовывается в электрический. Для сравнения, дискретный сигнал 
является сигналом, существующим в дискретные промежутки времени; он характеризуется последовательностью чисел, определенных для каждого момента времени, кТ, где k — целое число, а Т — фиксированный промежуток времени.
1.2.4. Сигналы, выраженные через энергию или мощность
Электрический сигнал можно представить как изменение напряжения 
или тока 
с мгновенной мощностью 
, подаваемой на сопротивление R:
(1.3,а)
или
(1.3.,б)
В системах связи мощность часто нормируется (предполагается, что сопротивление R равно 1 Ом, хотя в реальном канале оно может быть любым). Если требуется определить действительное значение мощности, оно получается путем «денормирования» нормированного значения. В нормированном случае уравнения (1.3,а) и (1.3,6) имеют одинаковый вид. Следовательно, вне зависимости от того, представлен сигнал через напряжение или ток, нормированная форма позволяет нам выразить мгновенную мощность как
, (1.4)
где — это либо напряжение, либо ток. Рассеивание энергии в течение промежутка времени (
) реального сигнала с мгновенной мощностью, полученной с помощью уравнения (1.4), может быть записано следующим образом.
(1.5)
Средняя мощность, рассеиваемая сигналом в течение этого интервала, равна следующему.
(1.6)
Производительность системы связи зависит от энергии принятого сигнала; сигналы с более высокой энергией обнаруживаются более достоверно (с меньшим числом ошибок) — работу по обнаружению выполняет принятая энергия. С другой стороны, мощность — это скорость поступления энергии. Этот момент важен по нескольким причинам. Мощность определяет напряжение, которое необходимо подать на передатчик, и напряженность электромагнитных полей, которые следует учитывать в радиосистемах (т.е. поля в волноводах, соединяющих передатчик с антенной, и поля вокруг излучающих элементов антенны).
При анализе сигналов связи зачастую желательно работать с энергией сигнала. Будем называть энергетическим сигналом тогда и только тогда, когда он в любой момент времени имеет ненулевую конечную энергию (
), где
(1.7)
В реальной ситуации мы всегда передаем сигналы с конечной энергией (). Впрочем, для описания периодических сигналов, которые по определению (уравнение (1.2)) существуют всегда и, следовательно, имеют бесконечную энергию, и для работы со случайными сигналами, также имеющими неограниченную энергию, удобно определить класс сигналов, выражаемых через мощность. Итак, сигнал удобно представить с использованием мощности, если он является периодическим и в любой момент времени имеет ненулевую конечную мощность (
), где
(1.8)
Определенный сигнал можно отнести либо к энергетическому, либо периодическому. Энергетический сигнал имеет конечную энергию, но нулевую среднюю мощность, тогда как периодический сигнал имеет нулевую среднюю мощность, но бесконечную энергию. Сигнал в системе может выражаться либо через его энергетические, либо периодические значения. Общее правило: периодические и случайные сигналы выражаются через мощность, а сигналы, являющиеся детерминированными и непериодическими, — через энергию [1, 2].
Энергия и мощность сигнала — это два важных параметра в описании системы связи. Классификация сигнала либо как энергетического, либо как периодического является удобной моделью, облегчающей математическую трактовку различных сигналов и шумов. В разделе 3.1.5 эти идеи развиваются в контексте цифровых систем связи.
1.2.5. Единичная импульсная функция
Полезной функцией в теории связи является единичный импульс, или дельта-функция Дирака 
. Импульсная функция — это абстракция, импульс с бесконечно большой амплитудой, нулевой шириной и единичным весом (площадью под импульсом), сконцентрированный в точке, в которой значение его аргумента равно нулю. Единичный импульс задается следующими соотношениями.
(1.9)
для 
(1.10)
не ограничена в точке 
(1.11)
(1.12)
Единичный импульс — это не функция в привычном смысле этого слова. Если входит в какую-либо операцию, его удобно считать импульсом конечной амплитуды, единичной площади и ненулевой длительности, после чего нужно рассмотреть предел при стремлении длительности импульса к нулю. Графически 
можно изобразить как пик, расположенный в точке 
, высота которого равна интегралу от него или его площади. Таким образом, 
с постоянной А представляет импульсную функцию, площадь которой (или вес) равна А, а значение везде нулевое, за исключением точки .
Уравнение (1.12) известно как просеивающее (или квантующее) свойство единичной импульсной функции; интеграл от единичного импульса и произвольной функции дает выборку функции в точке .
1.3. Спектральная плотность
Спектральная плотность (spectral density) характеристик сигнала — это распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот. Особую важность это понятие приобретает при рассмотрении фильтрации в системах связи. Мы должны иметь возможность оценить сигнал и шум на выходе фильтра. При проведении подобной оценки используется спектральная плотность энергии (energy spectral density — ESD) или спектральная плотность мощности (power spectral density — PSD).
1.3.1. Спектральная плотность энергии
Общая энергия действительного энергетического сигнала , определенного в интервале 
описывается уравнением (1.7). Используя теорему Парсеваля [1], мы можем связать энергию такого сигнала, выраженную во временной области, с энергией, выраженной в частотной области:
, (1.13)
где 
— Фурье-образ непериодического сигнала . (Краткие сведения об анализе Фурье можно найти в приложении А.) Обозначим через 
прямоугольный амплитудный спектр, определенный как
(1.14)
Величина является спектральной плотностью энергии (ESD) сигнала . Следовательно, из уравнения (1.13) можно выразить общую энергию путем интегрирования спектральной плотности по частоте.
(1.15)
Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна площади под на графике в частотной области. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигнала , величина 
представляет собой четную функцию частоты. Следовательно, спектральная плотность энергии симметрична по частоте относительно начала координат, а общую энергию сигнала можно выразить следующим образом.
(1.16)
1.3.2. Спектральная плотность мощности
Средняя мощность 
действительного сигнала в периодическом представлении определяется уравнением (1.8). Если — это периодический сигнал с периодом , он классифицируется как сигнал в периодическом представлении. Выражение для средней мощности периодического сигнала дается формулой (1.6), где среднее по времени берется за один период .
(1.17,а)
Теорема Парсеваля для действительного периодического сигнала [1] имеет вид
, (1.17,б)
где члены 
являются комплексными коэффициентами ряда Фурье для периодического сигнала (см. приложение А).
Чтобы использовать уравнение (1.17,6), необходимо знать только значение коэффициентов . Спектральная плотность мощности (PSD) 
периодического сигнала , которая является действительной, четной и неотрицательной функцией частоты и дает распределение мощности сигнала по диапазону частот, определяется следующим образом.
(1.18)
Уравнение (1.18) определяет спектральную плотность мощности периодического сигнала как последовательность взвешенных дельта-функций. Следовательно, PSD периодического сигнала является дискретной функцией частоты. Используя PSD, определенную в уравнении (1.18), можно записать среднюю нормированную мощность действительного сигнала.
(1.19)
Уравнение (1.18) описывает PSD только периодических сигналов. Если — непериодический сигнал, он не может быть выражен через ряд Фурье; если он является непериодическим сигналом в периодическом представлении (имеющим бесконечную энергию), он может не иметь Фурье-образа. Впрочем, мы по-прежнему можем выразить спектральную плотность мощности таких сигналов в пределе. Если сформировать усеченную версию 
непериодического сигнала в периодическом представлении , взяв для этого только его значения из интервала (), то будет иметь конечную энергию и соответствующий Фурье-образ 
. Можно показать [2], что спектральная плотность мощности непериодического сигнала определяется как предел.
(1.20)
Пример 1.1. Средняя нормированная мощность
а) Найдите среднюю нормированную мощность сигнала 
, используя усреднение по времени.
б) Выполните п. а путем суммирования спектральных коэффициентов.
Решение
а) Используя уравнение (1.17,а), имеем следующее.
б) Используя уравнения (1.18) и (1.19), получаем следующее.
(см. приложение А)
1.4. Автокорреляция
1.4.1. Автокорреляция энергетического сигнала
Корреляция — это процесс согласования; автокорреляцией называется согласование сигнала с собственной запаздывающей версией. Автокорреляционная функция действительного энергетического сигнала определяется следующим образом.
для 
(1.21)
Автокорреляционная функция 
дает меру похожести сигнала с собственной копией, смещенной на 
единиц времени. Переменная играет роль параметра сканирования или поиска. — это не функция времени; это всего лишь функция разности времен между сигналом и его смещенной копией.
Автокорреляционная функция действительного энергетического сигнала имеет следующие свойства.
1. 
симметрия по относительно нуля
2. 
для всех максимальное значение в нуле
3. 
автокорреляция и ESD являются Фурье-образами друг друга, что обозначается двусторонней стрелкой
4. 
значение в нуле равно энергии сигнала
При удовлетворении пп. 1-3 является автокорреляционной функцией. Условие 4 — следствие условия 3, поэтому его не обязательно включать в основной набор для проверки на автокорреляционную функцию.
1.4.2. Автокорреляция периодического сигнала
Автокорреляция действительного периодического сигнала определяется следующим образом.
для (1.22)
Если сигнал является периодическим с периодом , среднее по времени в уравнении (1.22) можно брать по одному периоду , а автокорреляцию выражать следующим образом.
для (1.23)
Автокорреляция периодического сигнала, принимающего действительные значения, имеет свойства, сходные со свойствами энергетического сигнала.
1. симметрия по относительно нуля
2. для всех максимальное значение в нуле
3. 
автокорреляция и ESD являются Фурье-образами друг друга
4. 
значение в нуле равно средней мощности сигнала
1.5. Случайные сигналы
Основной задачей системы связи является передача информации по каналу связи. Все полезные сигналы сообщений появляются случайным образом, т.е. приемник не знает заранее, какой из возможных символов сообщений будет передан. Кроме того, вследствие различных электрических процессов возникают шумы, которые сопровождают информационные сигналы. Следовательно, нам нужен эффективный способ описания случайных сигналов.
1.5.1. Случайные переменные
Пусть случайная переменная Х(А) представляет функциональное отношение между случайным событием А и действительным числом. Для удобства записи обозначим случайную переменную через X, а ее функциональную зависимость от А будем считать явной. Случайная переменная может быть дискретной или непрерывной. Распределение 
случайной переменной X находится выражением:
, (1.24)
где 
— вероятность того, что значение принимаемой; случайной переменной X меньше действительного числа х или равно ему. Функция распределения имеет следующие свойства.
1. 
2. 
если 
3. 
4. 
Еще одной полезной функцией, связанной со случайной переменной X, является плотность вероятности, которая записывается следующим образом.
(1.25,а)
Как и в случае функции распределения, плотность вероятности — это функция действительного числа х. Название «функция плотности» появилось вследствие того, что вероятность события 
равна следующему.
(1.25,б)
Используя уравнение (1.25,6), можно приближенно записать вероятность того, что случайная переменная X имеет значение, принадлежащее очень малому промежутку между 
и 
.
(1.25,в)
Таким образом, в пределе при 
, стремящемся к нулю, мы можем записать следующее.
(1.25,г)
Плотность вероятности имеет следующие свойства.
1. 
2. 
.
Таким образом, плотность вероятности всегда неотрицательна и имеет единичную площадь. В тексте книги мы будем использовать запись 
для обозначения плотности вероятности для непрерывной случайной переменной. Для удобства записи мы часто будем опускать индекс X и писать просто 
. Если случайная переменная X может принимать только дискретные значения, для обозначения плотности вероятности мы будем использовать запись 
.
1.5.1.1. Среднее по ансамблю
Среднее значение (mean value) 
, или математическое ожидание (expected value), случайной переменной X определяется выражением
, (1.26)
где 
именуется оператором математического ожидания (expected value operator). Моментом n-го порядка распределения вероятностей случайной переменной X называется следующая величина.
(1.27)
Для анализа систем связи важны первые два момента переменной X. Так, при n=1 уравнение (1.27) дает момент , рассмотренный выше, а при n= 1 — среднеквадратическое значение X.
(1.28)
Можно также определить центральные моменты, представляющие собой моменты разности X и . Центральный момент второго порядка (называемый также дисперсией) равен следующему.
(1.29)
Дисперсия X также записывается как 
, а квадратный корень из этой величины, 
, называется среднеквадратическим отклонением X. Дисперсия — это мера «разброса» случайной переменной X. Задание дисперсии случайной переменной ограничивает ширину функции плотности вероятности. Дисперсия и среднеквадратическое значение связаны следующим соотношением.
Таким образом, дисперсия равна разности среднеквадратического значения и квадрата среднего значения.
1.5.2. Случайные процессы
Случайный процесс 
можно рассматривать как функцию двух переменных: события А и времени. На рис. 1.5 представлен пример случайного процесса. Показаны N выборочных функций времени 
. Каждую из выборочных функций можно рассматривать как выход отдельного генератора шума. Для каждого события 
имеем единственную функцию времени 
(т.е. выборочную функцию). Совокупность всех выборочных функций называется ансамблем. В любой определенный момент времени 
, 
— это случайная переменная 
, значение которой зависит от события. И последнее, для конкретного события 
и для конкретного момента времени 
, 
— это обычное число. Для удобства записи будем обозначать случайный процесс через X(t), а функциональную зависимость от А будем считать явной.
Рис.1.5. Случайный процесс шума
1.5.2.1. Статистическое среднее случайного процесса
Поскольку значение случайного процесса в каждый последующий момент времени неизвестно, случайный процесс, функции распределения которого непрерывны, можно описать статистически через плотность вероятности. Вообще, в различные моменты времени эта функция для случайного процесса будет иметь разный вид. В большинстве случаев эмпирически определить распределение вероятностей случайного процесса нереально. В то же время для нужд систем связи часто достаточно частичного описания, включающего среднее и функцию автокорреляции. Итак, определим среднее случайного процесса X(t) как
, (1.30)
где — случайная переменная, полученная при рассмотрении случайного процесса в момент времени , a 
— плотность вероятности (плотность по ансамблю событий в момент времени ).
Определим автокорреляционную функцию случайного процесса X(t) как функцию двух переменных 
и 
, (1.31)
где 
и 
— случайные переменные, получаемые при рассмотрении X(t) в моменты времени и 
соответственно. Автокорреляционная функция — это мера связи двух временных выборок одного случайного процесса.
1.5.2.2. Стационарность
Случайный процесс X(t) называется стационарным в строгом смысле, если ни на одну из его статистик не влияет перенос начала отсчета времени. Случайный процесс именуется стационарным в широком смысле, если две его статистики, среднее и автокорреляционная функция, не меняются при переносе начала отсчета времени. Таким образом, процесс является стационарным в широком смысле, если
(1.32)
и
(1.33)
Стационарность в строгом смысле подразумевает стационарность в широком смысле, но не наоборот. Большинство полезных результатов теории связи основывается на предположении, что случайные информационные сигналы и шум являются стационарными в широком смысле. С практической точки зрения случайный процесс не обязательно всегда должен быть стационарным, достаточно стационарности в некотором наблюдаемом интервале времени, представляющем практический интерес.
Для стационарных процессов автокорреляционная функция в уравнении (1.33) зависит не от времени, а только от разности 
. Иными словами, все пары значений X(t) в моменты времени, разделенные промежутком 
, имеют одинаковое корреляционное значение. Следовательно, для стационарных систем функцию 
можно записывать просто как 
.
1.5.2.3. Автокорреляция случайных процессов, стационарных в широком смысле
Как дисперсия предлагает меру случайности для случайных переменных, так и автокорреляционная функция предлагает подобную меру для случайных процессов. Для процессов, стационарных в широком смысле, автокорреляционная функция зависит только от разности времен .
для (1.34)
Для стационарного в широком смысле процесса с нулевым средним, функция показывает, насколько статистически коррелируют случайные величины процесса, разделенные секундами. Другими словами, дает информацию о частотной характеристике, связанной со случайным процессом. Если меняется медленно по мере увеличения от нуля до некоторого значения, это показывает, что в среднем выборочные значения X(t), взятые в моменты времени 
и 
, практически равны. Следовательно, мы вправе ожидать, что в частотном представлении X(t) будут преобладать низкие частоты. С другой стороны, если быстро уменьшается по мере увеличения , стоит ожидать, что X(t) будет быстро меняться по времени и, следовательно, будет включать преимущественно высокие частоты.
Автокорреляционная функция стационарного в широком смысле процесса, принимающего действительные значения, имеет следующие свойства.
1. 
симметрия по относительно нуля
2. 
для всех максимальное значение в нуле
3. 
автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга
4. 
значение в нуле равно средней мощности сигнала
1.5.3. Усреднение по времени и эргодичность
Для вычисления и путем усреднения по ансамблю нам нужно усреднить их по всем выборочным функциям процесса, и, значит, нам потребуется полная информация о взаимном распределении функций плотности вероятности в первом и втором приближениях. В общем случае, как правило, такая информация недоступна.
Если случайный процесс принадлежит к особому классу, называемому классом эргодических процессов, его среднее по времени равно среднему по ансамблю и статистические свойства процесса можно определить путем усреднения по времени одной выборочной функции процесса. Чтобы случайный процесс был эргодическим, он должен быть стационарным в строгом смысле (обратное не обязательно). Впрочем, для систем связи, где нам достаточно стационарности в широком смысле, нас интересуют только среднее и автокорреляционная функция.
Говорят, что случайный процесс является эргодическим по отношению к среднему значению, если
(1.35)
и эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, если
(1.36)
Проверка случайного процесса на эргодичность обычно весьма непроста. На практике, как правило, используется интуитивное предположение о целесообразности замены средних по ансамблю средними по времени. При анализе большинства сигналов в каналах связи (при отсутствии импульсных эффектов) разумным будет предположение, что случайные сигналы являются эргодическими по отношению к автокорреляционной функции. Поскольку для эргодических процессов средние по времени равны средним по ансамблю, фундаментальные электротехнические параметры, такие как амплитуда постоянной составляющей, среднеквадратическое значение и средняя мощность, могут быть связаны с моментами эргодического случайного процесса.
1. Величина 
равна постоянной составляющей сигнала.
2. Величина 
равна нормированной мощности постоянной составляющей.
3. Момент второго порядка X(t), 
, равен общей средней нормированной мощности.
4. Величина 
равна среднеквадратическому значению сигнала, выраженного через ток или напряжение.
5. Дисперсия 
равна средней нормированной мощности переменного сигнала.
6. Если среднее процесса равно нулю (т.е. 
), то 
, а дисперсия равна среднеквадратическому значению или (другая формулировка) дисперсия представляет общую мощность в нормированной нагрузке.
7. Среднеквадратическое отклонение 
является среднеквадратическим значением переменного сигнала.
8. Если 
, то 
— это среднеквадратическое значение сигнала.
1.5.4. Спектральная плотность мощности и автокорреляция случайного процесса
Случайный процесс X(t) можно отнести к периодическому сигналу, имеющему такую спектральную плотность мощности 
, как указано в уравнении (1.20). Функция особенно полезна в системах связи, поскольку она описывает распределение мощности сигнала по диапазону частот. Спектральная плотность мощности позволяет оценить мощность сигнала, который будет передаваться через сеть с известными частотными характеристиками. Основные свойства функций спектральной плотности мощности можно сформулировать следующим образом.
1. 
всегда принимает действительные значения
2. 
для X(t), принимающих действительные значения
3. 
автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга
4. 
связь между средней нормированной мощностью и спектральной плотностью мощности
На рис. 1.6 приведено визуальное представление автокорреляционной функции и функции спектральной плотности мощности. Что означает термин «корреляция»? Когда мы интересуемся корреляцией двух явлений, спрашиваем, насколько близко они соотносятся по поведению или виду и насколько они совпадают. В математике автокорреляционная функция сигнала (во временной области) описывает соответствие сигнала самому себе, смещенному на некоторый промежуток времени. Точная копия считается созданной и локализированной на минус бесконечности. Затем мы последовательно перемещаем копию в положительном направлении временной оси и задаем вопрос, насколько они (исходная версия и копия) соответствуют друг другу. Затем мы перемещаем копию еще на один шаг в положительном направлении и задаем вопрос, насколько они совпадают теперь, и т.д. Корреляция между двумя сигналами изображается как функция времени, обозначаемого ; при этом время можно рассматривать как параметр сканирования.
На рис. 1.6, а-г изображена описанная выше ситуация в некоторые моменты времени. Рис. 1.6, а иллюстрирует отдельный сигнал стационарного в широком смысле случайного процесса X(t). Сигнал представляет собой случайную двоичную последовательность с положительными и отрицательными (биполярными) импульсами единичной амплитуды. Положительные и отрицательные импульсы появляются с равной вероятностью. Длительность каждого импульса (двоичной цифры) равна Т секунд, а среднее, или величина постоянной составляющей случайной последовательности, равно нулю. На рис. 1.6, б показана та же последовательность, смещенная во времени на 
секунд. Согласно принятым обозначениям, эта последовательность обозначается 
. Предположим, что процесс X(t) является эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, поэтому для нахождения мы можем использовать усреднение по времени вместо усреднения по ансамблю. Значение получается при перемножении двух последовательностей X(t) и с последующим нахождением среднего с помощью уравнения (1.36), которое справедливо для эргодических процессов только в пределе. Впрочем, интегрирование по целому числу периодов может дать нам некоторую оценку . Отметим, что 
может быть получено при смещении X(t) как в положительном, так и отрицательном направлении. Подобный случай иллюстрирует рис. 1.6, в, на котором использована исходная выборочная последовательность (рис. 1.6, а) и ее смещенная копия (рис. 1.6, б). Заштрихованные области под кривой произведения 
вносят положительный вклад в произведение, а серые области — отрицательный. Интегрирование по времени передачи импульсов дает точку на кривой . Последовательность может далее смещаться на 
и каждое такое смещение будет давать точку на общей автокорреляционной функции , показанной на рис. 1.6, г. Иными словами, каждой случайной последовательности биполярных импульсов соответствует автокорреляционная точка на общей кривой, приведенной на рис. 1.6, г. Максимум функции находится в точке 
(наилучшее соответствие имеет место при , равном нулю, поскольку для всех 
), и функция спадает по мере роста . На рис. 1.6, г показаны точки, соответствующие и .
Аналитическое выражение для автокорреляционной функции , приведенной на рис. 1.6, г, имеет следующий вид [1].
(1.37)
Отметим, что автокорреляционная функция дает нам информацию о частоте; она сообщает нам кое-что о полосе сигнала. В то же время автокорреляция — это временная функция; в формуле (1.37) отсутствуют члены, зависящие от частоты. Так как же она дает нам информацию о полосе сигнала?
Рис.1.6. Автокорреляция и спектральная плотность мощности
Рис.1.6. Автокорреляция и спектральная плотность мощности (окончание)
Предположим, что сигнал перемещается очень медленно (сигнал имеет малую ширину полосы). Если мы будем смещать копию сигнала вдоль оси , задавая на каждом этапе смещения вопрос, насколько соответствуют друг другу копия и оригинал, соответствие достаточно долго будет довольно сильным. Другими словами, треугольная автокорреляционная функция (рис. 1.6, г и формула 1.37) будет медленно спадать с ростом . Предположим теперь, что сигнал меняется достаточно быстро (т.е. имеем большую полосу). В этом случае даже небольшое изменение приведет к тому, что корреляция будет нулевой и автокорреляционная функция будет иметь очень узкую форму. Следовательно, сравнение автокорреляционных функций по форме дает нам некоторую информацию о ширине полосы сигнала. Функция спадает постепенно? В этом случае имеем сигнал с узкой полосой. Форма функции напоминает узкий пик? Тогда сигнал имеет широкую полосу.
Автокорреляционная функция позволяет явно выражать спектральную плотность мощности случайного сигнала. Поскольку спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция являются Фурье-образами друг друга, спектральную плотность мощности, , случайной последовательности биполярных импульсов можно найти как Фурье-преобразование функции , аналитическое выражение которой дано в уравнении (1.37). Для этого можно использовать табл. А.1. Заметим, что
(1.38)
где
(1.39)
Общий вид функции показан на рис. 1.6, д.
Отметим, что площадь под кривой спектральной плотности мощности представляет собой среднюю мощность сигнала. Одной из удобных мер ширины полосы является ширина основного спектрального лепестка (см. раздел 1.7.2). На рис. 1.6, д показано, что ширина полосы сигнала связана с обратной длительностью символа или шириной импульса. Рис. 1.6, е-к формально повторяют рис. 1.6, а-д, за исключением того, что на последующих рисунках длительность импульса меньше. Отметим, что для более коротких импульсов функция .уже (рис. 1.6, и), чем для более длительных (рис. 1.6, г). На рис. 1.6, и 
; другими словами, в случае меньшей длительности импульса смещения на , достаточно для создания нулевого соответствия или для полной потери корреляции между смещенными последовательностями. Поскольку на рис. 1.6, е длительность импульса Т меньше (выше скорость передачи импульса), чем на рис. 1.6, а, занятость полосы на рис. 1.6, к больше занятости полосы для более низкой частоты импульсов, показанной на рис. 1.6, д.
1.5.5. Шум в системах связи
Термин «шум» обозначает нежелательные электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических системах. Наличие шума, наложенного на сигнал, «затеняет», или маскирует, сигнал; это ограничивает способность приемника принимать точные решения о значении символов, а следовательно, ограничивает скорость передачи информации. Природа шумов различна и включает как естественные, так и искусственные источники. Искусственные шумы — это шумы искрового зажигания, коммутационные импульсные помехи и шумы от других родственных источников электромагнитного излучения. Естественные шумы исходят от атмосферы, солнца и других галактических источников.
Хорошее техническое проектирование может устранить большинство шумов или их нежелательные эффекты посредством фильтрации, экранирования, выбора модуляции и оптимального местоположения приемника. Например, чувствительные радиоастрономические измерения проводятся, как правило, в отдаленных пустынных местах, вдали от естественных источников шума. Впрочем, существует один естественный шум, называемый тепловым, который устранить нельзя. Тепловой шум [4, 5] вызывается тепловым движением электронов во всех диссипативных компонентах — резисторах, проводниках и т.п. Те же электроны, которые отвечают за электропроводимость, являются причиной теплового шума.
Тепловой шум можно описать как гауссов случайный процесс с нулевым средним. Гауссов процесс n(t) — это случайная функция, значение которой и в произвольный момент времени t статистически характеризуется гауссовой функцией плотности вероятностей:
, (1.40)
где — дисперсия n. Нормированная гауссова функция плотности процесса с нулевым средним получается в предположении, что 
. Схематически нормированная функция плотности вероятностей показана на рис. 1.7.
Далее мы часто будем представлять случайный сигнал как сумму случайной переменной, выражающей гауссов шум, и сигнала канала связи.
Здесь 
— случайный сигнал, а — сигнал в канале связи, а n — случайная переменная, выражающая гауссов шум. Тогда функция плотности вероятности 
выражается как
, (1.41)
где, как и выше, — дисперсия n.
Рис.1.7. Нормированная (
) гауссова функция плотности вероятности
Гауссово распределение часто используется как модель шума в системе, поскольку существует центральная граничная теорема [3], утверждающая, что при весьма общих условиях распределение вероятностей суммы j статистически независимых случайных переменных подчиняется гауссовому распределению 
, причем вид отдельных функций распределения не имеет значения. Таким образом, даже если отдельные механизмы шума будут иметь негауссово распределение, совокупность многих таких механизмов будет стремиться к гауссовому распределению.
1.5.5.1. Белый шум
Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот, представляющих интерес для большинства систем связи; другими словами, источник теплового шума на всех частотах излучает с равной мощностью на единицу ширины полосы — от постоянной составляющей до частоты порядка 
Гц. Следовательно, простая модель теплового шума предполагает, что его спектральная плотность мощности 
равномерна для всех частот, как показано на рис. 1.8, а, и записывается в следующем виде.
(1.42)
Здесь коэффициент 2 включен для того, чтобы показать, что — двусторонняя спектральная плотность мощности. Когда мощность шума имеет такую единообразную спектральную плотность, мы называем этот шум белым. Прилагательное «белый» используется в том же смысле, что и для белого света, содержащего равные доли всех частот видимого диапазона электромагнитного излучения.
Рис.1.8. Белый шум: а) спектральная плотность мощности;
б) автокорреляционная функция
Автокорреляционная функция белого шума дается обратным преобразованием Фурье спектральной плотности мощности шума (см. табл. А.1) и записывается следующим образом.
(1.43)
Таким образом, автокорреляция белого шума — это дельта-функция, взвешенная множителем 
и находящаяся в точке 
, как показано на рис. 1.8, б. Отметим, что 
равна нулю для 
, т.е. две различные выборки белого шума не коррелируют, вне зависимости от того, насколько близко они находятся.
Средняя мощность 
белого шума бесконечна, поскольку бесконечна ширина полосы белого шума. Это можно увидеть, получив из уравнений (1.19) и (1.42) следующее выражение.
(1.44)
Хотя белый шум представляет собой весьма полезную абстракцию, ни один процесс шума в действительности не может быть белым; впрочем, шум, появляющийся во многих реальных системах, можно предположительно считать белым. Наблюдать такой шум мы можем только после того, как он пройдет через реальную систему, имеющую конечную ширину полосы. Следовательно, пока ширина полосы шума существенно больше ширины полосы, используемой системой, можно считать, что шум имеет бесконечную ширину полосы.
Дельта-функция в уравнении (1.43) означает, что сигнал шума n(t) абсолютно не коррелирует с собственной смещенной версией для любого 
. Уравнение (1.43) показывает, что любые две выборки процесса белого шума не коррелируют. Поскольку тепловой шум — это гауссов процесс и его выборки не коррелируют, выборки шума также являются независимыми [3]. Таким образом, воздействие канала с аддитивным белым гауссовым шумом на процесс обнаружения состоит в том, что шум независимо воздействует на каждый переданный символ. Такой канал называется каналом без памяти. Термин «аддитивный» означает, что шум просто накладывается на сигнал или добавляется к нему — никаких мультипликативных механизмов не существует.
Поскольку тепловой шум присутствует во всех системах связи и для большинства систем является заметным источником шума, характеристики теплового шума (аддитивный, белый и гауссов) часто применяются для моделирования шума в системах связи. Поскольку гауссов шум с нулевым средним полностью характеризуется его дисперсией, эту модель особенно просто использовать при обнаружении сигналов и проектировании оптимальных приемников. В данной книге мы будем считать (если не оговорено противное), что система подвергается искажению со стороны аддитивного белого гауссового шума с нулевым средним, хотя иногда такое упрощение будет чересчур сильным.
1.6. Передача сигнала через линейные системы
После того как мы разработали набор моделей для сигнала и шума, рассмотрим характеристики систем и их воздействие на сигналы и шумы. Поскольку систему с равным успехом можно охарактеризовать как в частотной, так и во временной области, в обоих случаях были разработаны методы, позволяющие анализировать отклик линейной системы на произвольный входной сигнал. Сигнал, поданный на вход системы (рис. 1.9), можно описать либо как временной сигнал, , либо через его Фурье-образ, . Использование временного анализа дает временной выход 
, и в процессе будет определена функция 
, импульсная характеристика, или импульсный отклик, сети. При рассмотрении ввода в частотной области мы должны определить для системы частотную характеристику, или передаточную функцию 
, которая определит частотный выход 
. Предполагается, что система линейна и инвариантна относительно времени. Также предполагается, что система не имеет скрытой энергии на момент подачи сигнала на вход.
Рис.1.9. Линейная система и её ключевые параметры
1.6.1. Импульсная характеристика
Линейная, инвариантная относительно времени система или сеть, показанная на рис. 1.9, описывается (во временной области) импульсной характеристикой , представляющей собой реакцию системы при подаче на ее вход единичного импульса .
при 
(1.45)
Рассмотрим термин «импульсный отклик», крайне подходящий для данного события. Описание характеристик системы через ее импульсный отклик имеет прямую физическую интерпретацию. На вход системы мы подаем единичный импульс (нереальный сигнал, имеющий бесконечную амплитуду, нулевую ширину и единичную площадь), как показано на рис. 1.10, а. Подачу такого импульса в систему можно рассматривать как «мгновенный удар». Как отреагирует («откликнется») система на такое применение силы (импульс)? Выходящий сигнал — это и есть импульсный отклик системы. (Возможный вид этого отклика показан на рис. 1.10, б.)
Отклик сети на произвольный сигнал является сверткой с , что записывается следующим образом.
(1.46)
Рис.1.10. Иллюстрация понятия «импульсный отклик»: а) входной сигнал является единичной импульсной функцией; б) выходной сигнал — импульсным откликом системы
Здесь знак «*» обозначает операцию свертки (см. раздел А.5). Система предполагается причинной, что означает отсутствие сигнала на выходе до момента времени , когда сигнал подается на вход. Следовательно, нижняя граница интегрирования может быть взята равной нулю, и выход можно выразить несколько иначе.
(1.47,а)
или в виде
(1.47,б)
Выражения в уравнениях (1.46) и (1.47) называются интегралами свертки. Свертка (convolution) — это фундаментальный математический аппарат, играющий важную роль в понимании всех систем связи. Если читатель не знаком с этой операцией, ему стоит обратиться к разделу А.5, где приводится вывод уравнений (1.46) и (1.47).
1.6.2. Частотная передаточная функция
Частотный выходной сигнал получаем при применении преобразования Фурье к обеим частям уравнения (1.46). Поскольку свертка во временной области превращается в умножение в частотной (и наоборот), из уравнения (1.46) получаем следующее.
(1.48)
или
(1.49)
(Подразумевается, конечно, что 
для всех 
.) Здесь 
, Фурье-образ импульсного отклика, называемый частотной передаточной функцией, частотной характеристикой, или частотным откликом сети. Вообще, функция является комплексной и может быть записана как
, (1.50)
где 
— модуль отклика. Фаза отклика определяется следующим образом.
(1.51)
(
и 
обозначают действительную и мнимую части аргумента.)
Частотная передаточная функция линейной, инвариантной относительно времени сети может легко измеряться в лабораторных условиях — в сети с генератором гармонических колебаний на входе и осциллографом на выходе. Если входной сигнал выразить как
,
то выход можно записать следующим образом.
(1.52)
Входная частота 
смещается на интересующее нас значение; таким образом, измерения на входе и выходе позволяют определить вид 
.
1.6.2.1. Случайные процессы и линейные системы
Если случайный процесс формирует вход линейной, инвариантной относительно времени системы, то на выходе этой системы получим также случайный процесс. Иными словами, каждая выборочная функция входного процесса дает выборочную функцию выходного процесса. Входная спектральная плотность мощности и выходная спектральная плотность мощности 
связаны следующим соотношением.
(1.53)
Уравнение (1.53) предоставляет простой способ нахождения спектральной плотности мощности на выходе линейной, инвариантной относительно времени системы при подаче на вход случайного процесса.
В главах 3 и 4 мы рассмотрим обнаружение сигналов в гауссовом шуме. Основное свойство гауссовых процессов будет применено к линейной системе. Будет показано, что если гауссов процесс 
подается на инвариантный относительно времени линейный фильтр, то случайный процесс 
, поступающий на выход, также является гауссовым [6].
1.6.3. Передача без искажений
Что необходимо для того, чтобы сеть вела себя как идеальный канал передачи? Сигнал на выходе идеального канала связи может запаздывать по отношению к сигналу на входе; кроме того, эти сигналы могут иметь различные амплитуды (простое изменение масштаба), но что касается всего остального — сигнал не должен быть искажен, т.е. он должен иметь ту же форму, что и сигнал на входе. Следовательно, для идеальной неискаженной передачи выходной сигнал мы можем описать как
, (1.54)
где 
и 
— константы. Применив к обеим частям преобразование Фурье (см. раздел А.3.1), имеем следующее.
(1.55)
Подставляя выражение (1.55) в уравнение (1.49), видим, что необходимая передаточная функция системы для передачи без искажений имеет следующий вид.
(1.56)
Следовательно, для получения идеальной передачи без искажений общий отклик системы должен иметь постоянный модуль, а сдвиг фаз должен быть линейным по частоте. Недостаточно, чтобы система равно усиливала или ослабляла все частотные компоненты. Все гармоники сигнала должны поступать на выход с одинаковым запаздыванием, чтобы их можно было просуммировать. Поскольку запаздывание связано со сдвигом фаз 
и циклической частотой 
соотношением
, (1.57,а)
очевидно, что, для того чтобы запаздывание всех компонентов было одинаковым, сдвиг фаз должен быть пропорционален частоте. Для измерения искажения сигнала, вызванного запаздыванием, часто используется характеристика, называемая групповой задержкой; она определяется следующим образом.
(1.57,б)
Таким образом, для передачи без искажений имеем два эквивалентных требования: фаза должна быть линейной по частоте или групповая задержка 
должна быть равна константе. На практике сигнал будет искажаться при проходе через некоторые части системы. Для устранения этого искажения в систему могут вводиться схемы коррекции фазы или амплитуды (выравнивания). Вообще, искажение — это общая характеристика ввода-вывода системы, определяющая ее производительность.
1.6.3.1. Идеальный фильтр
Построить идеальную сеть, описываемую уравнением (1.56), нереально. Проблема заключается в том, что в уравнении (1.56) предполагается бесконечная ширина полосы, причем ширина полосы системы определяется интервалом положительных частот, в которых модуль 
имеет заданную величину. (Вообще, существует несколько мер ширины полосы; самые распространенные перечислены в разделе 1.7.) В качестве приближения к идеальной сети с бесконечной шириной полосы выберем усеченную сеть, без искажения пропускающую все гармоники с частотами между 
и 
где — нижняя частота среза, а — верхняя, как показано на рис. 1.11. Все подобные сети называются идеальными фильтрами. Предполагается, что вне диапазона 
, который называется полосой пропускания (passband), амплитуда отклика идеального фильтра равна нулю. Эффективная ширина полосы пропускания определяется шириной полосы фильтра и составляет 
Гц.
Если 
и 
, фильтр называется пропускающим (рис. 1.11, а). Если 
и имеет конечное значение, он именуется фильтром нижних частот (рис. 1.11, б). Если имеет ненулевое значение и 
, он называется фильтром верхних частот (рис. 1.11, в).
Рис.1.11. Передаточная функция идеальных фильтров: а) идеальный пропускающий фильтр; б) идеальный фильтр нижних частот; в) идеальный фильтр нижних частот
Используя уравнение (1.59) и полагая 
для идеального фильтра нижних частот с шириной полосы 
Гц, показанной на рис. 1.11, б, можно записать передаточную функцию следующим образом.
(1.58)
где
(1.59)
и
(1.60)
Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12, выражается следующей формулой.
Рис.1.12. Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот
(1.61)
или
, (1.62)
где функция 
определена в уравнении (1.39). Импульсный отклик, показанный на рис. 1.12, является непричинным; это означает, что в момент подачи сигнала на вход (
), на выходе фильтра имеется ненулевой отклик. Таким образом, должно быть очевидно, что идеальный фильтр, описываемый уравнением (1.58), не реализуется в действительности.
Пример 1.2. Прохождение белого шума через идеальный фильтр
Белый шум со спектральной плотностью мощности 
, показанный на рис 1.8, а, подается на вход идеального фильтра нижних частот, показанного на рис. 1.11, б. Определите спектральную плотность мощности 
и автокорреляционную функцию 
выходного сигнала.
Решение
Автокорреляционная функция — это результат применения обратного преобразования Фурье к спектральной плотности мощности. Определяется автокорреляционная функция следующим выражением (см. табл. А.1).
Сравнивая полученный результат с формулой (1.62), видим, что имеет тот же вид, что и импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12. В этом примере идеальный фильтр нижних частот преобразовывает автокорреляционную функцию белого шума (определенную через дельта-функцию) в функцию 
. После фильтрации в системе уже не будет белого шума. Выходной шумовой сигнал будет иметь нулевую корреляцию с собственными смещенными копиями только при смещении на 
, где 
— любое целое число, отличное от нуля.
1.6.3.2. Реализуемые фильтры
Простейший реализуемый фильтр нижних частот состоит из сопротивления (R) и емкости (С), как показано на рис. 1.13, а; этот фильтр называется RC-фильтром, и его передаточная функция может быть выражена следующим образом [7].
, (1.63)
где 
. Амплитудная характеристика 
и фазовая характеристика изображены на рис. 1.13, б, в. Ширина полосы фильтра нижних частот определяется в точке половинной мощности; эта точка представляет собой частоту, на которой мощность выходного сигнала равна половине максимального значения, или частоту, на которой амплитуда выходного напряжения равна 
максимального значения.
В общем случае точка половинной мощности выражается в децибелах (дБ) как точка -3 дБ, или точка, находящаяся на 3 дБ ниже максимального значения. По определению величина в децибелах определяется отношением мощностей, 
и 
.
(1.64, а)
Здесь 
и 
— напряжения, a 
и 
— сопротивления. В системах связи для анализа обычно используется нормированная мощность; в этом случае сопротивления и считаются равными 1 Ом, тогда
Рис.1.13. RC-фильтр и его передаточная функция: а) RC-фильтр; б) амплитудная характеристика RC-фильтра; в) фазовая характеристика RC-фильтра
(1.64, б)
Амплитудный отклик можно выразить в децибелах как
, (1.64, в)
где и — напряжения на входе и выходе, а сопротивления на входе и выходе предполагаются равными.
Из уравнения (1.63) легко проверить, что точка половинной мощности RC-фильтра нижних частот соответствует 
рад/с, или 
Гц. Таким образом, ширина полосы 
в герцах равна 
. Форм-фактор фильтра — это мера того, насколько хорошо реальный фильтр аппроксимирует идеальный. Обычно он определяется как отношение ширины полос фильтров по уровню -60 дБ и -6 дБ. Достаточно малый форм-фактор (около 2) можно получить в пропускающем фильтре с очень резким срезом. Для сравнения, форм-фактор простого RC-фильтра нижних частот составляет около 600.
Существует несколько полезных аппроксимаций характеристики идеального фильтра нижних частот. Одну из них дает фильтр Баттерворта, аппроксимирующий идеальный фильтр нижних частот функцией
, (1.65)
где — верхняя частота среза (-3 дБ), а — порядок фильтра. Чем выше порядок, тем выше сложность и стоимость реализации фильтра. На рис. 1.14 показаны графики амплитуды для нескольких значений . Отметим, что по мере роста и амплитудные характеристики приближаются к характеристикам идеального фильтра. Фильтры Баттерворта популярны из-за того, что они являются лучшей аппроксимацией идеального случая в смысле максимальной пологости полосы пропускания фильтра.
Рис.1.14. Амплитудный отклик фильтра Баттерворта
Пример 1.3. Прохождение белого шума через RC-фильтр
Белый шум со спектральной плотностью , показанной на рис. 1.8, а, подается на вход RC-фильтра, показанного на рис. 1.13, а. Найдите спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию сигнала на выходе.
Решение
Используя табл. А.1, находим Фурье-образ .
Как можно предположить, после фильтрации у нас уже не будет белого шума. RC-фильтр преобразовывает входную автокорреляционную функцию белого шума (определенную через дельта-функцию) в экспоненциальную функцию. Для узкополосного фильтра (большая величина RC) шум на выходе будет проявлять более высокую корреляцию между выборками шума через фиксированные промежутки времени, чем шум на выходе широкополосного фильтра.
1.6.4. Сигналы, каналы, спектры
Сигналы описываются через их спектр. Подобным образом сети или каналы связи описываются через их спектральные характеристики или частотные передаточные функции. Как ширина полосы сигнала влияет на результат передачи сигнала через фильтр? На рис. 1.15 показаны два случая, представляющие для нас практический интерес. На рис. 1.15, а (случай 1) входной сигнал имеет узкий спектр, а частотная передаточная функция фильтра является широкополосной. Из уравнения (1.48) видим, что спектр выходного сигнала представляет собой простое произведение этих двух спектров. Можно проверить (рис. 1.15, а), что перемножение двух спектральных функций дает спектр с шириной полосы, приблизительно равной меньшей из двух полос (когда одна из двух спектральных функций стремится к нулю, произведение также стремится к нулю). Следовательно, для случая 1 спектр выходного сигнала ограничен спектром входного сигнала. Подобным образом в случае 2, где входной сигнал является широкополосным, а фильтр имеет узкополосную передаточную функцию (рис. 1.15, б), видим, что ширина полосы выходного сигнала ограничена шириной полосы фильтра; выходной сигнал будет профильтрованным (искаженным) изображением входного сигнала.
Воздействие фильтра на сигнал также можно рассматривать во временной области. Выход , получаемый в результате свертки идеального входного импульса (имеющего амплитуду 
и ширину импульса Т) с импульсным откликом RC-фильтра нижних частот, можно записать в следующем виде [8].
, (1.66)
где
(1.67)
Определим ширину импульса как
, (1.68)
а ширину полосы RC-фильтра как
. (1.69)
Идеальный входной импульс и его амплитудный спектр показаны на рис. 1.16. RС-фильтр и его амплитудная характеристика показаны на рис. 1.13, а, б. На рис. 1.17 показаны три примера, в каждом из которых использованы уравнения (1.66)-(1.69). Пример 1 иллюстрирует случай 
.
Отметим, что выходной отклик является достаточно хорошим приближением исходного импульса , показанного пунктиром.
Рис.1.15. Спектральные характеристики входного сигнала и вклад цепи в спектральные характеристики выходного сигнала: а) случай 1. Ширина выходной полосы ограничена шириной полосы входного сигнала; б) случай 2. Ширина выходной полосы ограничена шириной полосы фильтра
Этот случай является примером хорошей точности воспроизведения. В примере 2, где 
, переданный импульс все еще можно распознать. Пример 3 иллюстрирует случай, когда 
. Видим, что по форме импульс едва угадывается. Где может понадобиться большая ширина полосы (или хорошая точность воспроизведения), как в примере 1? Это могут быть дистанционные приложения большой точности, где на время прибытия импульса влияет расстояние, что требует импульсов с малыми временами нарастания. Какой пример демонстрирует двоичные приложения цифровой связи? Пример 2. Как указывалось ранее (рис. 1.1), одной из принципиальных особенностей двоичной цифровой связи является то, что требуется всего лишь точно почувствовать, к какому из двух возможных состояний принадлежит каждый принятый импульс. Пример 3 был включен для полноты обсуждения; в реальных системах подобные схемы не используются.
1.7. Ширина полосы при передаче цифровых данных
1.7.1. Узкополосные и широкополосные сигналы
Легким способом трансляции спектра низкочастотного или узкополосного сигнала на более высокую частоту является умножение узкополосного сигнала на несущий сигнал 
или наложение колебаний, как показано на рис. 1.18. Результирующий сигнал 
называется двухполосным (double sideband — DSB) модулированным сигналом и выражается следующей формулой.
(1.70)
Рис.1.16. Идеальный импульс и его амплитудный спектр
Из теоремы о модуляции (см. раздел А.3.2) спектр двухполосного сигнала дается следующим выражением.
(1.71)
Рис. 1.17. Три примера фильтрации идеального импульса: а) пример 1. Хорошая точность воспроизведения; б) пример 2. Хорошее распознавание; в) пример 3. Плохое распознавание
Амплитудный спектр узкополосного сигнала с шириной полосы 
и амплитудный спектр 
двухполосного сигнала с шириной полосы 
показаны на рис. 1.18, б, в. На графике спектральные компоненты, соответствующие положительным частотам узкополосного сигнала, находятся в диапазоне от 
до 
. Эта часть спектра двухполосного сигнала называется верхней боковой полосой (upper sideband — USB). Спектральные компоненты, соответствующие отрицательным частотам узкополосного сигнала, лежат в диапазоне от 
до . Эта часть спектра двухполосного сигнала называется нижней боковой полосой (lower sideband — LSB). Кроме того, в области отрицательных частот находятся зеркальные изображения спектров нижней и верхней боковых полос. Несущая волна (или просто несущая) иногда еще называется гетеродином, или местным гетеродином. В общем случае частота несущей значительно больше ширины полосы узкополосного сигнала.
С помощью рис. 1.18 можно легко сравнить ширину полосы 
, требуемую для передачи узкополосного сигнала, с шириной полосы , достаточной для передачи двухполосного сигнала. Итак, видим следующее.
(1.72)
Иными словами, для передачи двухполосной версии сигнала нам необходима вдвое большая полоса, чем для передачи его узкополосного аналога.
Рис.1.18. Сравнение узкополосного и двухполосного спектров: а) наложение колебаний; б) узкополосной спектр; в) двухполосный спектр
1.7.2. Дилемма при определении ширины полосы
Множество важных теорем из теории связи и информации опираются на предположение о том, что каналы имеют строго ограниченную полосу; это означает, что за пределами определенной полосы мощность сигнала равна нулю. Таким образом, мы сталкиваемся с дилеммой: сигналы со строго ограниченной полосой, как, например, сигнал со спектром 
, изображенный на рис. 1.19, б, не могут быть реализованы, поскольку они, как показано на рис. 1.19, а, подразумевают сигналы бесконечной длительности (обратное преобразование Фурье функции ). Сигналы с ограниченной длительностью, как сигнал 
, показанный на рис. 1.19, в, легко реализуются. Но при этом они также непригодны, поскольку их Фурье-образы имеют энергию на относительно высоких частотах, что можно увидеть из спектра сигнала 
, показанного на рис. 1.19, г. Итак, можно сказать, что для всех спектров с ограниченной полосой сигналы не реализуемы, а для всех реализуемых сигналов абсолютная ширина полосы равна бесконечности. Математическое описание реального сигнала не допускает, чтобы сигнал был строго ограничен по продолжительности и полосе. Значит, математические модели являются абстракциями; поэтому не удивительно, что до настоящего момента не существует единого определения ширины полосы.
Рис.1.19. Представление сигнала: а) сигнал со строго ограниченной полосой во временной области; б) в частотной области; в) сигнал со строго ограниченной длительностью во временной области; г) в частотной области
Все критерии определения ширины полосы имеют одно общее свойство: они пытаются найти меру ширины, W, неотрицательной действительной спектральной плотности, определенную для всех частот 
. На рис 1.20 показаны некоторые наиболее распространенные определения ширины полосы (стоит отметить, что различные критерии не являются взаимозаменяемыми). Однополосная спектральная плотность мощности для отдельного гетеродинного импульса имеет следующее аналитическое выражение.
, (1.73)
где — частота несущей, а Т — длительность импульса. Эта спектральная плотность мощности (рис. 1.20) также характеризует случайную последовательность импульсов; предполагается, что время, по которому производится усреднение, намного больше длительности импульса. График состоит из основного лепестка и меньших симметричных боковых лепестков. Общий вид графика справедлив для большинства форматов цифровых модуляций; в то же время некоторые форматы не имеют ярко выраженных боковых лепестков. Перечислим критерии определения ширины полосы, показанные на рис. 1.20.
Рис.1.20. Ширина полосы цифровых данных: а) половинная мощность; б) шумовой эквивалент; в) по первым нулям; г) 99% мощности; д) ограниченная спектральная плотность мощности по уровню 35 дБ и 50 дБ
а) ширина полосы половинной мощности. Интервал между частотами, на которых 
падает до мощности, вдвое (или на 3 дБ) ниже максимального значения.
б) ширина полосы шумового эквивалента. Шумовой эквивалент полосы позволяет быстро вычислять мощность шума на выходе усилителя с широкополосным шумом на входе; данное понятие применимо и к ширине полосы сигнала. Ширина полосы шумового эквивалента 
определяется отношением 
, где 
— общая мощность сигнала на всех частотах, a 
— значение в центре полосы (предполагается, что это — максимальное значение по всем частотам).
в) ширина полосы по первым нулям. Наиболее популярной мерой ширины полосы в цифровой связи является ширина основного спектрального лепестка, в котором сосредоточена основная мощность сигнала. Этому критерию недостает универсальности, поскольку в некоторых форматах модуляции отсутствуют явно выраженные лепестки.
г) полоса, вмещающая определенную часть суммарной мощности. Этот критерий ширины полосы был принят Федеральной комиссией по средствам связи США (Federal Communications Commission — FCC) (см. FCC Rules and Regulations, раздел 2.202), и согласно ему полоса ограничивается так, что за ее пределами находится 1% мощности сигнала (0,5% выше верхней границы полосы и 0,5% ниже нижней границы). Таким образом, на определенную полосу приходится 99% мощности сигнала.
д) спектральная плотность мощности по уровню дБ. Еще один популярный метод определения ширины полосы — указать, что за пределами определенной полосы мощность должна снизиться до заданного уровня, меньшего максимального значения (в центре полосы). Типичными уровнями затухания являются 35 и 50 дБ.
е) абсолютная ширина полосы. Это интервал между частотами, вне которых спектр равен нулю. Весьма полезная абстракция. Впрочем, для всех реализуемых сигналов абсолютная ширина полосы равна бесконечности.
Пример 1.4. Сигналы со строго ограниченной полосой
Понятие сигнала, который строго ограничен полосой частот, нереализуемо. Докажите это, показав, что сигнал со строго ограниченной полосой должен иметь бесконечную длительность.
Решение
Пусть — сигнал с Фурье-образом и строго ограниченной полосой частот, центрированный на частотах 
и имеющий ширину 
. можно выразить через передаточную функцию идеального фильтра , показанную на рис. 1.21, как
, (1.74)
Рис.1.21. Передаточная функция и импульсная характеристика для сигнала со строго ограниченной полосой: а) идеальный полосовой фильтр; б) идеальная полосовая импульсная характеристика
где 
— Фурье-образ сигнала 
, не обязательно имеющий ограниченную ширину полосы, и
, (1.75)
где
можно выразить через как
Умножение в частотной области, как показано в уравнении (1.74), преобразуется в свертку во временной области.
(1.76)
Здесь — результат применения обратного преобразования Фурье к функции , который можно записать следующим образом (см. табл. А.1 и А.2).
Вид показан на рис. 1.21, б. Отметим, что имеет бесконечную длительность. Следовательно, сигнал , полученный, как показывает уравнение (1.76), путем свертки с , также имеет бесконечную длительность и, следовательно, не может быть реализован.
Литература
1. Haykin S. Communication Systems. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1983.
2. Shanmugam K. S. Digital and Analog Communication Systems. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1979. 3. Papoulis A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965. 4. Johnson J. B. Thermal Agitation of Electricity in Conductors. Phys. Rev., vol. 32, July 1928, pp. 97-109. 5. Nyguist H. Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. Phys. Rev., vol. 32, July 1928, pp. 110-113. 6. Van Trees H. L. Detection, Estimation, and Modulation Theory. Part 1, John Wiley & Sons, New York, 1968. 7. Schwartz M. Information Transmission, Modulation, and Noise. McGraw-Hill Book Company, New York, 1970. 8. Millman J. and Taub H. Pulse, Digital, and Switching Waveforms. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.
Задачи
1.1. Определите, в каком представлении даны следующие сигналы: в энергетическом или мощностном. Найдите нормированную энергию и нормированную мощность каждого сигнала.
а) 
для 
б) 
в) 
г) 
для
1.2. Определите спектральную плотность энергии квадратного импульса 
, где функция 
для 
и нулю — для остальных 
. Вычислите нормированную энергию 
импульса.
1.3. Выразите среднюю нормированную мощность периодического сигнала через коэффициенты комплексного ряда Фурье.
1.4. Используя усреднения по времени, найдите среднюю нормированную мощность сигнала 
.
1.5. Решите задачу 1.4. посредством суммирования спектральных коэффициентов.
1.6. Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства автокорреляционных функций. Ответ аргументируйте. (Примечание: 
должна быть не отрицательной функцией. Почему?)
а) 
б) 
в) 
г) 
1.7. Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства функций спектральной плотности мощности. Ответ аргументируйте.
а) 
б) 
в) 
г) 
1.8. Выразите автокорреляционную функцию 
через её период 
. Найдите среднюю нормированную мощность , использую соотношение 
.
1.9. а) Используя результаты задачи 1.8, найдите автокорреляционную функцию 
сигнала 
.
б) Используя соотношение , найдите среднюю нормированную мощность сигнала . Сравните ответ с ответами задач 1.4 и 1.5.
1.10. Для функции 
вычислите (а) среднее значение ; (б) мощность переменной составляющей ; (в) среднеквадратическое значение .
1.11. Рассмотрим случайный процесс, описываемый функцией 
, где 
и — константы, а 
— случайная переменная, равномерно распределенная на промежутке 
. Если является эргодическим процессом, среднее по времени от в пределе 
равно соответствующему среднему по ансамблю от .
а) Используя усреднение по времени целого числа периодов, вычислите приближенно первый и второй моменты .
б) Используя уравнения (1.26) и (1.28), приближенно вычислите средние по ансамблю значения первого и второго моментов . Сравните результаты с ответом на п. а.
1.12. Фурье-образ сигнала определяется формулой 
(функция определена в уравнении (1.39)). Найдите автокорреляционную функцию 
сигнала .
1.13. Используя свойства дельта-функции, вычислите следующие интегралы.
а) 
б) 
в) 
г) 
1.14. Найдите свертку 
для спектров, показанных на рис. З1.1.
Рис.З1.1
1.15. На рис. 31.2 показана двусторонняя спектральная плотность мощности, 
, сигнала .
Рис.З1.2
а) Найдите нормированную среднюю мощность в диапазоне частот от 0 до 10 кГц.
б) Найдите нормированную среднюю мощность в диапазоне частот от 5 до 6 кГц.
1.16. Как показано в уравнении (1.64,а), децибелы — это логарифмическая мера отношения мощностей. Иногда в децибелах выражаются немощностные характеристики (относительно некоторых выделенных единиц). В качестве примера вычислите, сколько децибелов мяса для бифштексов вы приобретете, чтобы в группе из 100 человек каждый получил 2 гамбургера. Предположим, что в качестве эталонной единицы вы и мясник договорились использовать полфунта мяса (вес одного бифштекса).
1.17. Рассмотрим амплитудный отклик фильтра Баттерворта нижних частот в форме, приведенной в уравнении (1.65).
а) Найдите , при котором 
колеблется в пределах ±1 дБ в диапазоне 
б) Покажите, что при , стремящемся к бесконечности, амплитудный отклик приближается к амплитудному отклику идеального фильтра.
1.18. Рассмотрим сеть, приведенную на рис. 1.9, частотная передаточная функция которой равна . На вход подается импульс . Покажите, что отклик на выходе представляет собой результат обратного преобразования Фурье .
1.19. На рис. 31.3 приведен пример цепи запоминания, широко используемой в импульсных системах. Определите импульсную характеристику этого канала.
Рис.З1.3
1.20. Для спектра
определите ширину полосы сигнала, используя следующие определения ширины полосы:
а) ширина полосы половинной мощности;
б) ширина полосы шумового эквивалента;
в) ширина полосы по первым нулям;
г) полоса, вмещающая 99% мощности (подсказка: используйте численные методы);
д) полоса по уровню 35 дБ;
е) абсолютная ширина полосы.
Вопросы для самопроверки
1.1. Как график автокорреляционной функции сигнала характеризует занятость полосы сигнала (см. раздел 1.5.4)?
1.2. Какие два требования необходимо удовлетворить для обеспечения передачи без искажения через линейную систему (см. раздел 1.6.3)?
1.3. Дайте определение параметру групповая задержка (см. раздел 1.6.3).
1.4. Какая математическая дилемма является причиной существования нескольких определений ширины полосы (см. раздел 1.7.2)?