6.2. Обобщенная модель и категории дискретных сигналов
6.3. Корреляционные функции АФМ сигналов
6.4. Вычисление корреляционных функций кодовых последовательностей
6.1. Широкополосная модуляция
К настоящему моменту стало понятно, что для превращения сигнала в широкополосный необходимо соответствующее управление его комплексной огибающей 
, т.е. модуляцией мгновенной амплитуды 
и мгновенной начальной фазы 
. Как уже отмечалось ранее, «чистая» амплитудная модуляция не является эффективным инструментом обеспечения широкополосности, поскольку она расширяет спектр лишь ценой концентрации энергии сигнала в коротких временных интервалах, что неизбежно приводит к увеличению пиковой мощности.
В зависимости от характера используемой модуляции все широкополосные сигналы можно разделить на непрерывные и дискретные. Для первых закон модуляции, т.е. комплексная огибающая , – непрерывная функция времени, тогда как модулируемые параметры вторых (амплитуда, частота, начальная фаза) – кусочно-постоянны, скачкообразно изменяя свои значения только в дискретные моменты времени. Пример непрерывного широкополосного сигнала будет кратко рассмотрен в начале следующей темы, однако в дальнейшем основное внимание будет фокусироваться на дискретных сигналах в силу их доминирующего распространения в большинстве современных и перспективных коммерческих широкополосных систем.
6.2. Обобщенная модель и категории дискретных сигналов
Версия дискретного сигнала, которая наиболее типична для современных широкополосных систем, может быть описана следующим образом: дискретный сигнал есть последовательность элементарных символов (импульсов) фиксированной формы, повторяющихся с некоторым фиксированным временным интервалом. Упомянутый элементарный импульс, именуемый далее чипом, исчерпывающе характеризуется комплексной огибающей 
, задающей его форму и закон внутренней угловой модуляции, если последняя присутствует. Традиционно (но не обязательно), временной интервал 
между последовательными чипами равен или больше длительности чипа 
. Модуляция всего сигнала сводится к манипулированию амплитудами, фазами и, возможно, частотами отдельных чипов. В соответствии с этим словесным описанием формальное представление комплексной огибающей дискретного сигнала дается равенством
,
где в дополнение к уже расшифрованным обозначениям 
и 
– соответственно комплексная амплитуда и частота (измеряемая сдвигом относительно фиксированной центральной частоты) 
-го чипа. Очевидно, что последовательность 
определяет действительные амплитуды чипов, т.е. их амплитудную модуляцию. Аналогично, последовательности 
и 
задают законы модуляции чипов по фазе и частоте. Рисунок слева иллюстрирует смысл некоторых введенных обозначений.
В рамках описанной общей модели можно выделить несколько категорий дискретных сигналов в зависимости от конкретных деталей модуляции чипов.
1. Если манипулируются лишь комплексные амплитуды чипов, а их частоты одинаковы 
, сигнал называется амплитудно-фазоманипулированным (АФМ). Традиционное название последовательности комплексных амплитуд чипов 
– кодовая последовательность или просто код.
2. Если манипуляции подлежат только фазы чипов АФМ сигнала, а их амплитуды неизменны 
, АФМ сигнал именуют фазоманипулированным (ФМ). ФМ сигналы характерны для так называемых широкополосных систем с прямым расширением спектра (см. раздел 11.1).
3. Среди ФМ сигналов возможна дальнейшая классификация в зависимости от модуляционного алфавита. В случае бинарных комплексных амплитуд с алфавитом 
(или эквивалентно
сигнал является бинарным ФМ (БФМ). Квадратурный ФМ алфавит 
, (или эквивалентно 
) порождает сигнал с квадратурной ФМ (КФМ или ФМ-4). Если же ФМ алфавит принадлежит множеству 
(или эквивалентно 
), то получаем 
–фазные (ФМ-М) сигналы.
4. Если управлению подвергаются только частоты чипов, а комплексные амплитуды неизменны, сигнал является частотно-манипулированным (ЧМ). Кодовая последовательность подобного сигнала представляет собой последовательность частот 
. Сигналы этого типа используются, в частности, в системах с прыгающей частотой (см. раздел 11.1).
Возможна и классификация дискретных сигналов, учитывающая его конечность или периодичность:
1. Импульсный или апериодический сигнал содержит конечное число N чипов, т.е. является пакетом из 
манипулированных импульсов:
,
что следует из обобщенной модели дискретного сигнала в предположении неравенства нулю действительных амплитуд 
только для 
, тогда как при 
и 
. Длительность апериодического сигнала 
.
2. Периодический сигнал характеризуется повторяющимся законом модуляции с периодом в чипов: 
, 
. Период последнего в единицах реального времени 
, и любой такой сигнал получается, очевидно, повторением с периодом 
апериодического, являющегося, в свою очередь, однопериодным сегментом периодического сигнала.
В обоих случаях параметр будем называть длиной дискретного сигнала (кода).
6.3. Корреляционные функции АФМ сигналов
Корреляционные функции, характеризующие схожесть сдвинутых во времени копий сигналов, критически важны в задачах измерения времени и разрешения. Искусство дизайна широкополосных систем, как это демонстрируется далее, во многих аспектах подразумевает умение находить сигналы с должными корреляционными свойствами. Цель настоящего раздела состоит в получении обобщающего выражения для корреляционных функций АФМ сигналов.
Вне зависимости от того является ли дискретный сигнал финитным или периодическим для вычисления его автокорреляционной функции (АКФ) достаточен интервал 
. Подстановка обобщенной модели АФМ дискретного сигнала в выражение, определяющее АКФ, приводит к следующему соотношению
,
в котором
АКФ одного чипа. Замена индекса суммирования 
на 
представляет последний результат как
,
где
– АКФ кодовой последовательности 
, характеризующая схожесть последней со своей копией, сдвинутой на 
позиций.
Сравнение выражения для АКФ АФМ сигнала с его моделью позволяет заключить, что АКФ АФМ сигнала может сама интерпретироваться как АФМ сигнал! При этом чипом последнего служит АКФ 
исходного чипа, тогда как кодовой последовательностью оказывается АКФ 
кодовой последовательности 
исходного сигнала. Следовательно, при заданном чипе 
АКФ АФМ сигнала полностью определяется АКФ кодовой последовательности (в дальнейшем АКФ кода), и синтез АФМ сигналов с хорошими корреляционными свойствами состоит в отыскании последовательностей с хорошими АКФ.
Для построения многопользовательских CDMA систем требуются семейства дискретных сигналов с приемлемыми взаимными корреляционными свойствами. Если синхронизация всех сигнатур (асинхронный вариант CDMA) невозможна, то неизбежно возникают помехи множественного доступа (ПМД), уровень которых определяется взаимной корреляционной функцией (ВКФ) между 
–й и –й сигнатурами:
свидетельствующей о подобий –й и –й сигнатур, сдвинутых во времени на 
. Повторяя проделанные при определении АКФ АФМ сигналов выкладки, снова приходим к заключению, что при заданном чипе свойства ВКФ АФМ сигналов полностью определяются ВКФ кодов 
–й и –й сигнатур (при 
ВКФ становится АКФ):
,
характеризующей степень сходства k-й последовательности со сдвинутой на позиций репликой l-го кода.
6.4. Вычисление корреляционных функций кодовых последовательностей
Рассмотрим кодовую последовательность 
. Если она используется для формирования импульсного сигнала, то в общей модели АФМ сигнала 
для всех отрицательных и 
, так что апериодическая или импульсная АКФ 
кода 
вычисляется как
.
Очевидно, что апериодическая АКФ представляет собой скалярное произведение вектора 
с собственной копией, нециклически сдвинутой на позиций. Последнее означает, что при сдвиге вектора 
вправо 
или влево 
сумма в учитывает только перекрывающиеся компоненты и его сдвинутой копии, а все остальные полагаются равными нулю. Например, для вычисления 
первоначально следует записать одну под другой исходную последовательность и ее комплексно сопряженную копию, сдвинутую вправо на одну позицию, а затем выполнить поэлементное перемножение и просуммировать полученные произведения:
.
Обратимся теперь к периодическому сигналу, т.е. положим 
. Тогда в выражении для АКФ сумма всегда содержит слагаемых, поскольку 
и т.д., периодическая АКФ 
вычисляется как
,
причем индекс суммирования 
вычисляется по 
.
В этом случае скалярное произведение вычисляется для исходной кодовой последовательности и ее циклически сдвинутой копии, где при 
крайних левых «пустых» позиций заполняются символами, «вытолкнутыми» вправо. Например, схема вычисления 
выглядит следующим образом:
.
Из вышеприведенных определений непосредственно вытекает связь между периодической и апериодической АКФ
Отметим, что нормированные версии апериодической и периодической АКФ определяются как
,
где
.
Пример 6.4.1. Приведенная слева таблица иллюстрирует вычисление апериодической и периодической 
АКФ бинарной последовательности длины 
. Здесь, как это обычно принято, символы бинарного алфавита +1 и –1 представлены знаками + и – соответственно. Два последних столбца таблицы содержат значения ненормированной АКФ, а затененные клетки отвечают символам, не участвующим в вычислении апериодической АКФ. Нормированные АКФ получаются в результате деления всех полученных значений АКФ на 
. Непосредственная проверка подтверждает связь между апериодической и периодической АКФ: 
, 
, 
, 
.
На рисунке построены ненормированные АКФ БФМ видеосигнала с прямоугольными чипами длительности 
, модулированными рассматриваемой кодовой последовательностью.
Говоря о взаимной корреляции двух последовательностей одной длины, можно вновь различать апериодическую 
и периодическую 
ВКФ, определяемые как
и 
.
Для ВКФ остается в силе и соотношение устанавливающее связь между периодической и апериодической версиями:
.
6.5. Корреляционные функции ЧМ сигналов
Решим теперь ту же задачу, но в приложении к ЧМ сигналам. Комплексную огибающую ЧМ сигнала можно записать как
.
Тогда, интересуясь только значениями АКФ ЧМ сигналов при задержках, кратных длительности чипа: 
, где – целое, после аналогично выполненных выше преобразований получаем
.
Типичным для ЧМ является использование равномерного частотного алфавита, в котором 
, где шаг по частоте 
не меньше полосы, занимаемой чипом. Таким образом, спектры двух чипов с частотами и 
, не перекрываются, а сами чипы ортогональны независимо от их временного рассогласования всякий раз, как 
. Учитывая последнее, интеграл отличен от нуля только для тех значений , при которых частоты и 
совпадают, а значение АКФ аккумулирует число совпадений частот в последовательности 
и его копии 
, сдвинутой на чипов.
Пример 6.5.1. Пусть ЧМ сигнал описывается последовательностью частот вида 
, где все значения определены в числе 
. Тогда для вычисления ее апериодической и периодической АКФ следует записать одну по другой данную последовательность и все ее сдвинутые копии, а затем осуществить подсчет числа совпадений между исходной последовательностью и ее копии, сдвинутой на m позиций.
6.6. Выигрыш от обработки
В заключении главы осуществим оценку выигрыша от обработки, присущего дискретным сигналам. Для АФМ сигналов полоса оценивается величиной 
, а длительность сигнала составляет 
, так что выигрыш от обработки составит 
, т.е. в точности совпадает с длиной кодовой последовательности. Для ЧМ сигналов с различными номиналами разнос между соседними частотами, как правило, выбирается порядка 
с тем, чтобы минимизировать общую полосу, занимаемую сигналом 
, при длительности равной . В результате выигрыш от обработки составляет 
, т.е. равен произведению длины (в числе чипов последовательности) на число различных частот .