1. Классические задачи обнаружения/различения и проблема оптимизации сигналов
1.1. Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие правила
1.4. Обмен выигрыша от ортогонального кодирования на ширину полосы
1.5. Примеры множеств ортогональных сигналов
1.5.1. Кодирование временным сдвигом
2. Задача измерения параметров и проблема выбора сигналов
2.1. Формулировка задачи и правила оценки
2.4. Комплексная огибающая радиосигнала
2.5. Автокорреляционная функция и отклик согласованного фильтра
2.6. Оценка запаздывания радиосигнала
3. Разрешающая способность и сложные сигналы
4. Преимущества систем с широкополосной передачей
4.2. Низкая вероятность обнаружения
4.3. Криптозащищенность сигнала
4.4. Электромагнитная совместимость
4.5. Эффекты распространения радиоволн в беспроводных системах
5. Роль широкополосных сигналов в системах с множественным доступом
5.1. Многоабонентские системы и проблема множественного доступа
5.2. Множественный доступ с частотным разделением
5.3. Множественный доступ с временным разделением
5.4. Множественный доступ с синхронным кодовым разделением
6. Широкополосные дискретные сигналы
6.2. Обобщенная модель и категории дискретных сигналов
6.3. Корреляционные функции АФМ сигналов
6.4. Вычисление корреляционных функций кодовых последовательностей
7. Широкополосные сигналы в задачах временного измерения, синхронизации и разрешения
7.1. Требования к АКФ: дополнительный экскурс
7.2. Сигналы с непрерывной частотной модуляцией
8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами
8.1. Идеальная периодическая АКФ. Минимаксные бинарные последовательности
8.2. Начальные сведения о конечных полях и линейных последовательностях
8.3. Периодическая АКФ m–последовательностей
8.4. Дополнение о конечных полях
9. Дискретные сигналы с идеальной периодической АКФ
9.1. Бинарные последовательности с непротивоположными символами
10. Дискретные частотно-манипулированные сигналы
11. Критерии выбора сигналов в широкополосных многоабонентских сетях
11.1. Широкополосная передача данных
11.2. Синтез ансамблей сигнатур для CDMA систем с прямым расширением спектра
11.3. Подходы к синтезу ансамблей сигнатур для асинхронного кодового разделения с ПРС
12. Оптимальные и асимптотически оптимальные ансамбли дискретных сигнатур
12.1. Частотно-сдвинутые бинарные m-последовательности
12.2. Ансамбли последовательностей Голда
13. Поиск и автосопровождение дискретных широкополосных сигналов
Термин «spread spectrum» (широкополосный, распределенный спектр) является одним из наиболее популярных в радиотехническом и телекоммуникационном сообществе. История широкополосной технологии охватывает более шести десятилетий и первоначально большинство проектов на ее основе курировались военными и разведывательными службами. Старт эры коммерческого внедрения широкополосной идеологии пришелся на конец 70-х годов, когда сотовая телефония начала свое триумфальное покорение мира. Еще один прорыв в практическом применении широкополосной концепции был сделан в конце 80-х – начале 90-х годов в ходе создания спутниковых радионавигационных систем второго поколения GPS (США) и ГЛОНАСС (СССР/Россия).
Сформулировать непротиворечивое и точное определение, ясно отделяющее широкополосную философию от «неширокополосной» не столь просто. Довольно часто упомянутое определение содержит тезис, что система или сигнал являются широкополосными, если занимаемая ими полоса значительно превосходит минимальную полосу, необходимую для передачи информации. Привязка понятия широкополосности к полосе, занимаемой сообщением, возможна только в применении к системам передачи данных, тогда как обсуждаемая философия характерна и для многих других приложений, таких как радиолокация, навигация, управление удаленными объектами и пр. Кроме того, определение широкополосности в терминах ширины полосы несет определенный риск охвата систем, которые принципиально не являются широкополосными. Примером этого может служить система мобильной телефонии GSM. При начальной скорости передачи оцифрованной речи в 9,6 кбит/с абонентский сигнал занимает полосу порядка 200 кГц, что может спровоцировать отнесение GSM к разряду широкополосных систем, однако в данном приложении расширение полосы не связано с идеей широкополосной передачи.
Дискуссионной является и сама идея существования некой минимальной полосы, занимаемой передаваемым сообщением. Согласно фундаментальной границе Шеннона спектральная эффективность (т.е. отношение скорости передачи данных 
к полосе сигнала 
) системы связи, работающей в условиях гауссовского канала, удовлетворяет неравенству
,
где 
– энергия сигнала, приходящаяся на один бит информации, 
– односторонняя спектральная плотность мощности гауссовского шума. Графическое представление границы на рисунке показывает, что любые комбинации 
и 
, лежащие ниже кривой, возможны, по крайней мере, в принципе. Так, например, работа со скоростью 
требует отношения сигнал-шум на бит , равного 280 дБ, что, естественно, совершенно нереалистично. Однако, передача данных в полосе, к примеру, в десять раз меньшей скорости передачи данных, является типичной для многих цифровых линий связи (радиорелейных, модемных и т.п.). Сказанное демонстрирует размытость понятия «минимальной полосы сообщения» и его ненадежность как отправной точки при объяснении концепции широкополосности.
Для универсализации определения широкополосности, охвата им не только систем связи, но и других приложений, более подходящей представляется следующая трактовка.
Обратимся к принципу неопределенности Габора, согласно которому произведение длительности на полосу сигнала (частотно-временное произведение) удовлетворяет неравенству
,
в котором константа 
зависит от способа определения длительности и полосы, однако в любом случае имеет порядок единицы.
Сигнал, для которого
и, значит, длительность и полоса строго связаны друг с другом, может быть назван простым (в противоположность широкополосному). Единственным способом расширения полосы простого сигнала является уменьшение его длительности, т.е. укорочение.
С другой стороны, детерминированный сигнал, для которого
и полосой которого можно управлять независимо от длительности, называется сигналом с расширенным спектром или широкополосным (другие названия – сложный, шумоподобный). Данное определение автоматически распространяется и на системы: система, использующая сигналы с расширенным (распределенным) спектром, является широкополосной.
Иллюстрацией вышесказанному служит рисунок, на котором представлены два прямоугольных импульса одинаковой длительности 
и несущей частоты 
: сигнал без внутренней модуляции (а) и сигнал с линейной частотной модуляцией с девиацией 
(b). Нижние кривые соответствуют энергетическим спектрам этих сигналов. Для рисунка (а) полоса 
, т.е. энергия сигнала в частотной области сконцентрирована на интервале, примерно обратном длительности импульса, т.е. длительность и полоса жестко связаны, частотно–временное произведение фиксировано и, следовательно, расширение спектра может быть достигнуто только в обмен на укорочение импульса. В свою очередь полоса, занимаемая импульсом (b), близка к значению девиации 
и значительно больше, чем величина, обратная длительности. В результате независимо от длительности сигнала полоса легко регулируется изменением лишь девиации. В свете введенного определения первый сигнал является простым, а второй – широкополосным.
1. Классические задачи обнаружения/различения и проблема оптимизации сигналов
1.1. Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие правила
Любая информационная система, в которой данные передаются из одной пространственной точки в другую, может быть представлена следующей абстрактной моделью. Пусть имеется некоторый источник, генерирующий одно из 
возможных сообщений. Каждое из конкурирующих сообщений передается своим специфическим сигналом, так что имеется множество 
из возможных сигналов: 
. Источник выбирает некоторый определенный сигнал 
и подает его на вход канала (см. рисунок). На приемной стороне (на выходе канала) наблюдается принятое колебание 
, которое является не точной копией переданного сигнала 
, а результатом трансформации , обусловленной искажающим воздействием шумов и помех, присутствующих в любом реальном канале. Классическим вопросом теории радиоприема является следующий: что представляет собой наилучшее правило решения о том, какое из возможных сообщений (или сигналов) было передано, если принято наблюдение ?
Для ответа на поставленный вопрос необходимо знать модель канала. Математическое описание канала дается переходной вероятностью 
, характеризующей вероятность трансформации каналом заданного входного сигнала в то или иное выходное наблюдение . Если значения переходной вероятности известны для всех возможных пар 
и , канал исчерпывающе описан.
При равной вероятности всех сообщений источника (что, как правило, характерно для разумно спроектированной системы) оптимальной стратегией наблюдателя, обеспечивающей минимальный риск перепутывания действительно переданного сигнала с каким-то другим, является правило максимального правдоподобия (МП). Согласно этому алгоритму по получении колебания решение принимается в пользу того сигнала, для которого вероятность трансформации каналом именно в наблюдение является наибольшей (в сравнении с другими сигналами).
В теории связи наиболее распространенной моделью служит канал с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ), или просто гауссовский канал, в котором переходная вероятность экспоненциально уменьшается с ростом квадрата евклидова расстояния между переданным сигналом и выходным наблюдением:
,
где 
– константа, не зависящая от и , – односторонняя спектральная плотность мощности белого шума, а евклидово расстояние между и определяется как
где T – интервал наблюдения.
Очевидно, что правдоподобие сигнала (вероятность того, что именно он преобразован каналом в наблюдение ) уменьшается с увеличением евклидова расстояния между 
и 
.Следовательно, правило МП для гауссовского канала можно переформулировать как правило минимума расстояния: решение принимается в пользу сигнала , поскольку он наиболее близок (в смысле евклидова расстояния) к наблюдению среди всех конкурирующих сигналов.
Часто при отображении сообщений в сигналы выдвигается требование равенства энергии для всех сигналов. В этом случае правило минимума расстояния можно толковать как правило максимума корреляции, означающее, в частности, что среди всех возможных сигналов одинаковой энергии принятым объявляется тот, который имеет наибольшую корреляцию с наблюдением
.
1.2. Передача двоичных данных
Пусть для передачи одного бита данных используются два различных сигнала 
и 
, отвечающих 0 и 1 соответственно. Тогда правилу минимального расстояния
,
где 
символизирует, что «решение принято в пользу сигнала с индексом 
», может быть дана наглядная геометрическая интерпретация (см. рисунок). Решения 
и 
выносятся на основании попадания вектора наблюдения 
в соответствующую половину плоскости, содержащей сигнальные вектора 
и 
. Вероятность ошибки, т.е. перепутывания сигналов 
зависит от расстояния 
между векторами и 
отнесенному к диапазону случайных флюктуаций , обусловленных канальным шумом:
,
где 
,
а 
– дополнительная функция ошибок.
При наложении энергетических ограничений единственным путем достижения высокой достоверности двоичной передачи данных является увеличение расстояния между сигналами. При равенстве энергий обоих сигналов
максимум расстояния
достигается на паре противоположных сигналов
.
Бинарная фазовая манипуляция (БФМ) практически реализует подобную пару и широко используется в цифровых системах передачи данных. Вероятность ошибки при передаче двоичных данных посредством БФМ
,
где
отношение сигнал-шум (ОСШ) на выходе согласованного фильтра.
В некоторых случаях требования реализационного плана диктуют применение не оптимальных сигналов, например ортогональную пару, что достигается при бинарной частотной манипуляции (БЧМ). Расстояние между ортогональными сигналами в корень из двух раз меньше, чем для противоположных сигналов (см. рисунок справа) и для ортогональной пары равная с БФМ вероятность ошибки достигается ценой удвоения энергии сигналов относительно БФМ. Иными словами, ортогональные сигналы энергетически проигрывают противоположным 3 дБ.
Еще одно выражение для расстояния оказывается очень продуктивным. Для сигналов с равными энергиями раскрытие скобок в подынтегральном выражении для квадрата расстояния приводит к соотношению
,
где коэффициент корреляции между сигналами
геометрически есть просто косинус угла между сигнальными векторами 
и, тем самым, характеризует близость, или сходство сигналов. Для противоположных сигналов (БФМ) 
, тогда как для ортогональных (БЧМ) 
. В любом случае
.
Существует еще один, достаточно старый, способ двоичной передачи: бинарная амплитудная манипуляция (БАМ), называемая также амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ). В данной схеме символ ‘0’ передается импульсом с энергией 
, а символ ‘1’ – паузой, так что
,
а вероятность ошибки
,
демонстрирующая, что БАМ требует на 6 дБ большей энергии, чем БФМ, для достижения той же достоверности передачи, когда ограничение наложено на пиковую энергию. На практике чаще ограничение накладывается на среднюю энергию, тогда потери БАМ составляют лишь 3 дБ по сравнению с БФМ, т.е. обладают энергетическим проигрышем, что и у БЧМ.
Проведенный анализ дает основание для следующего вывода о роли выбора сигнальной пары для передачи двоичной информации: отсутствует малейший намек на получение каких-либо преимуществ от привлечения широкополосных сигналов, так как расширение полосы сигнала сверх минимума 
не приведет к уменьшению вероятности ошибки. Для обеспечения желаемой достоверности приема достаточно лишь применить пару сигналов, максимально удаленных друг от друга, что автоматически предполагает использование противоположных сигналов без дополнительных требований к их форме и модуляции. Если по каким-либо причинам использование противоположной пары нецелесообразно, ни ортогональная (БЧМ), ни БАМ пары сигналов также никоим образом не стимулируют к применению технологии расширения спектра.
1.3. Передача М-ичных данных
Обратимся к более общему случаю, когда M альтернативных сигналов s1(t), s2(t), …, sM(t) переносят M возможных сообщений по АБГШ каналу. В наиболее типичной ситуации энергии всех сигналов одинаковы
,
что в геометрической интерпретации означает равенство длин всех сигнальных векторов.
Для принятого наблюдения y(t) вычисляются расстояния (или корреляции) между наблюдением и всеми конкурирующими сигналами и решение выносится в пользу того сигнала, который наиболее близок к y(t):
.
Для минимизации риска ошибочного решения (т.е. перепутывания одного сигнала с некоторым другим) необходима одновременная максимизация всех расстояний. Однако в данных условиях подобная задача оказывается весьма нетривиальной, поскольку они могут конфликтовать друг с другом: удаление некоторого вектора от соседнего, чревато риском приближения его к какому-то третьему. Можно показать, что минимальное расстояние между любой парой различных сигналов ограничено следующим соотношением
.
Следовательно, если вероятность перепутывания ближайших сигналов (максимальная вероятность ошибки) минимизирована, то оптимальными являются сигналы, лежащие нам этой границе. Подобные сигналы, известные под наименованием симплексных, являются эквидистантными и обладают одинаковыми коэффициентами корреляции
.
Простейшие множества симплексных сигналов