4. Электродинамика направляющих систем

4.1. Общие положения

4.2. Энергетические соотношения для электромагнитного поля

4.3. Режимы передачи по направляющим системам

4.4. Классы и типы волн в НСС

4.5. Электромагнитные процессы в проводниках и диэлектриках

4.6. Уравнение однородной линии

4.1. Общие положения

Строгое решение задачи распространения электромагнитной энергии по направляющим системам, образующим разнообразные кабели связи требует применения средств электродинамики и решения уравнений Максвелла. Методы электродинамики позволяют решить все задачи передачи, излучения, поглощения в любой направляющей системе и в любом частотном диапазоне. НС имеет достаточно сложную структуру, поэтому их при анализе вводится ряд допущений и процесс распространения энергии разбивается на независимые процессы:

• передачу;
• излучение;
• поглощение.

Каждый из этих процессов определяет те или иные свойства НС. При анализе НС параметры среды усредняются по объему, среда обладает следующими свойствами:

• изотропностью, т.е
• линейностью, т.е. ;
• однородностью, т.е. параметры среды не зависят от координаты.

При анализе НС анализируются гармонические колебания, т.к. сигнал любой формы может быть представлен суперпозицией гармонических составляющих в виде ряда Фурье.

Уравнения Максвелла (первое и второе) обобщают основные законы электродинамики: закон полного тока и электромагнитной индукции. Уравнения записываются в интегральной (4.1) и дифференциальной форме (4.2).

; (4.1) ; ; (4.2) . Для гармонических колебаний справедливо (4.3)

Обозначим , где — комплексная диэлектрическая проницаемость, соотношение мнимой и действительной частей которой определяет свойства среды:

— проводник;

— диэлектрик.

Кроме уравнений (4.1) и (4.2) используются уравнения (4.3) и (4.4).

; (4.4)

Уравнения (4.4) означают, что электрическое поле имеет заряды, а магнитные заряды не существуют. Силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах, от зарядов они расходятся (или сходятся) в окружающее пространство. Силовые линии магнитного поля всегда направлены по нормали к металлическим поверхностям, линии магнитного поля параллельны к проводящим поверхностям. В соответствии с (4.2) изменяющееся во времени магнитное поле порождает переменное электрическое поле и наоборот. Процесс распространения электромагнитного поля поясняется на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1. Распространение электромагнитного поля

4.2. Энергетические соотношения для электромагнитного поля

Рассмотрим баланс энергии электромагнитного поля. Запас энергии в объеме определяется суммой электрической и магнитной энергии:

(4.5)

где первое слагаемое – энергия электрического поля, а второе – магнитного. Это выражение аналогично известной формуле для колебательного контура:

Используя выражение Максвелла можно получить выражение:

(4.6)

где ds – элемент поверхности, ограничивающий объем V.

Это выражение известно как теорема Умова-Пойтинга. Левая часть выражения характеризует расход электромагнитной энергии в единицу времени. Первое слагаемое правой части представляет поток энергии в единицу времени через замкнутую поверхность S объема V в окружающее пространство. Энергия, распространяющаяся в единицу времени через поверхность, перпендикулярную направлению потока энергии, определяется величиной называется вектором Пойнтинга. Второе слогаемое определяет энергию внутри объема, которая преобразовалась в тепло.

Изменение запаса энергии, находящейся в некотором объеме V, происходит за счет расхода энергии внутри объема и распространения ее за пределы этого объема. Теорема Умова-Пойнтинга устанавливает связь между напряженностями полей Е и Н на поверхности какого-либо объема с потоком энергии, входящей в объем или выходящей из него. Зная величины Е и Н на поверхности НС можно определить поглощаемую и распространяющуюся электромагнитную энергию.

Рассмотрим одиночный проводник в полярной системе координат. Составляющие электромагнитного поля на его поверхности формируют вектор Пойнтинга, который можно разложить на составляющие, определяющие распространение энергии вдоль линии и в направлении перпендикулярном к проводнику (излучение, тепловые потери).

а) б) в)

Рис. 4.2 – Составляющие вектора Пойнтинга: а) распространение, б) излучение, в) поглощение.

Продольная составляющая П_r определяет распространение энергии вдоль линии. Радиальная составляющая определяет излучение энергии в свободное пространство, в СК и КК она обуславливает взаимные влияния. Эта же составляющая, направленная внутрь проводника определяет тепловые потери.

Приведенный анализ позволяет сделать важный вывод: в НС энергия распространяется в пространстве ограниченном проводниками, проводники только направляют энергию в нужном направлении. Если к проводникам линии подключить генератор, то между проводниками возникнет переменное электромагнитное поле. Это поле, окружая проводники, движется вдоль них со скоростью, близкой к скорости света. Одновременно по линии протекает ток. Напряженность электрического поля Е соответствует напряжению U, а напряженность магнитного поля – току І.

Рис. 4.3 – Токи протекающие (I_пр) и токи смещения (I_см): а) в кабеле; б) в конденцаторе; в) в атмосфере; г) в волноводе.

Непрерывность тока, протекающего по линии обеспечиваются протеканием тока проводимости в проводниках и тока смещения в диэлектрике (как это происходит в конденсаторе). В различных НС и в различных частных диапазонах преобладают или токи смещение или токи проводимости.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какие процессы возникают при распространении электромагнитной энергии?

2. Какие допущения принимаются при анализе НС?

3. Объясните смысл первого и второго уравнений Максвелла.

4. Объясните смысл третьего и четвертого уравнений Максвелла.

5. Что такое ток смещения? Приведите примеры возникновения тока смещения.

6. Объясните процесс распространения электромагнитной энергии.

7. Объясните смысл уравнения 4.4.

8. Объясните смысл уравнения 4.5.

9. Дайте определение вектора Пойтинга, объясните физический смысл его составляющих.

10. Какое назначение проводников в направляющей системе?

Письменные задания

1. Определить, при какой частоте грунт с удельным сопротивлением r=100 Ом×м/мм² приобретет свойства проводника, e_r=2,5.

2. Определить, при какой частоте медный проводник с удельным сопротивлением r=0,0175 Ом•мм²/м приобретет свойства диэлектрика.

3. Получить выражения для радиальной и продольной составляющих вектора Пойнтинга.

4. Доказать, что тангенциальной составляющей вектора Пойнтинга не существует.

5. Цепь содержит источник и последовательную RC -цепь. Обозначьте на схеме такой цепи токи проводимости и токи смещения.

6. Изобразите процесс распространения электромагнитного поля в свободном пространстве, укажите место тока смещения.

7. Укажите путь токов проводимости и смещения в волноводе.

8. Какие составляющие вектора Пойнтинга преобладают в кабеле, в антенне?

9. Объясните, какой ток (проводимости или смещения) преобладает в проводной НС, в волноводе.

10. Какой ток (проводимости или смещения) существует в ВС?

4.3. Режимы передачи по направляющим системам

В зависимости от используемых длин волн и среды распространения электромагнитной энергии выделяется пять различных режимов передачи.

Статический режим относится к процессам электростатики и магнитостатики, характеризуется отсутствием временной зависимости поля. Уравнения Максвелла имеют вид:

На основе уравнений электростатики определяется емкость проводников по формуле :

С=Q/U.

Стационарный режим относится к случаю передачи по проводникам постоянного тока І=s×Е, который создает магнитное поле, электрическое поле при этом не индукцируется и уравнения Максвелла имеют вид:

Магнитное поле имеет вихревой характер, а электрическое – безвихревой (потенциальный). В этом режиме определяется индуктивность цепи L=Ф/І, где Ф — магнитный поток, пронизывающий цепь. Для анализа процессов применяются законы Ома, Кирхгофа.

Квазистационарный режим охватывает диапазон до 10¹⁰ Гц, в этом режиме индуцируется вихревое электрическое поле, вызванное изменением электрического поля. Уравнения Максвелла имеют вид:

В этом режиме l>>D, где D – обобщенный поперечный размер НС, l — длина волны, токи смещения еще незначительны. Для анализа процесов используются законы Ома, Кирхгофа, телеграфное уравнение, волновое уравнение.

Электродинамический режим относится к области высоких частот и коротких волн (l £ D, F » 10¹⁰¸10¹² Гц). При анализе решают волновые уравнения. Уравнения Максвелла имеют вид:

Т.е. в этом режиме токами смещения пренебрегать нельзя.

Волновой и квазиоптический режимы характерны для процессов в диэлектрике, когда доминирующими являются токи смещения, а токи проводимости незначительны. В этом случае , , и Гц. При анализе процессов используются законы оптики (Гюйгенса, Френеля) и решаются волновые уравнения.

Приведенная классификация режимов характеризует универсальность уравнений Максвелла, единство законов электродинамики.

4.4. Классы и типы волн в НСС

Характер распространения электромагнитных волн в НС определяется структурой поля в ней. Эта структура определяет возможность того или иного спектра частот, что и обуславливает свойства направляющей системы. Распространяющиеся в НС волны делятся на классы и типы. Класс волны определяет наличие продольных составляющих поля ( и ). В общем случае структура поля имеет по три составляющих электрического и магнитного полей. В конкретных системах некоторые из этих составляющих обращаются в нуль. Существуют следующие классы волн:

Т – поперечно-электромагнитная ТЕМ-волна ( );

Е – электрическая или поперечно-магнитная ТМ-волна ( );

Н – магнитная или поперечно-электрическая ТЕ-волна ( );

ЕН и НЕ – смешанные гибридные волны ( ).

Рис. 4.4 – Типы волн в направляющих системах

ТЕМ-волны содержат толко поперечные составляющие поля, т.е. силовые линии поля целиком лежат в поперечных плоскостях и в точности повторяют картину силовых линий статического и стационарного режимов. Эта волна существует лишь в линиях, содержащих два изолированных проводника, находящихся под разными потенциалами. Эта волна является основной в проводных НС, характеризуется токами проводимости и практически нулевыми токами смещения.

Волны Е и Н кроме поперечных составляющих содержат по одной продольной составляющей поля. Силовые линии этих волн располагаются как в поперечном, так и в продольном сечениях НС. Эти волны возбуждаются в однопроводных линиях (волноводах). По поперечному сечению НС должно уложиться целое число полуволн (не менее одной).

Гибридные волны содержат шесть компонент поля, в том числе и продольные составляющие и . Такие волны возбуждаются в световодах и диэлектрических волноводах.

Классы волн делятся также по типам. Модам тип волны или мода определяется сложностью структуры поля в поперечном сечении НС, т.е. числом максимумов и минимумов поля в этом сечении.

Мода – это самосогласованное распределение поля, которое сохраняется при распространении волны вдоль НС, не содержащей неоднородностей. Число распространяющихся мод в НС бесконечно, эти волны отличаются наличием тех или иных составляющих поля, а, следовательно, и его структурой. Различают основной тип волны и волны высших типов. Основная мода имеет простейшую структуру. В двухпроводных НС основной является ТЕМ-волна. Типы волн обозначаются двумя числовыми индексами n и m, которые означают число полных изменений (вариаций) поля по поперечным координатам.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Назовите режимы передачи по НС.

2. Охарактеризуйте каждый режим передачи.

3. В каком режиме передачи используются симметричный кабель, коаксиальный кабель, световод?

4. Чем определяется наличие тока смещения в НС?

5. Дайте определение класса волны.

6. Охарактеризуйте классы электромагнитных волн.

7. Дайте определение типа волны (моды).

8. Дайте определение основного типа волны.

9. Чем определяется длина волны основной моды в волноводе?

10. Какие классы волн распространяются в волноводах и световодах?

Письменные задания

1. Заполните приведенную ниже таблицу

Режим передачи	Левая часть уравнения Максвелла	Правая часть			Частота, Гц; соот-ношение D и l	Тип волны	НС для режима
		Металл	Диэлектрик
Статичес-кий
Стационар-ный
Квазиста-ционарный
Электроди-намический
Волновой и квази-оптический

2. Изобразите структуру ТЕМ-волны в:

X To top