2. Интегральные уравнения электромагнитного поля

2.1. Теорема Гаусса для электрического и магнитного полей

2.2. Закон полного тока. Ток смещения

2.3. Закон электромагнитной индукции

2.4. Закон сохранения заряда

2.1. Теорема Гаусса для электрического поля

Интегральные уравнения электромагнитного поля являются обобщением экспериментальных законов и являются постулатами.

Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора электромагнитной индукции , проходящим через замкнутую поверхность S и зарядами находящимися внутри поверхности. Теорема Гаусса является обобщением закона Кулона.

Если заряд вне поверхности, то П = 0, т.к. сколько зарядов вошло, столько и вышло.

Внутри заряженной поверхности могут быть самые разные распределения зарядов.

Физическое понимание этих соотношений роль и сила теоремы Гаусса. Она позволяет судить о процессах происходящих внутри не проникая туда. К примеру, поток 0, значит, внутри S есть что-то, что создает поток. Если П=0, то там ничего нет, нет источников полей.

Практическое использование теоремы Гаусса, рекомендации. Форма поверхности произвольная. Любая. Как распорядиться свободой ? Цилиндр, сфера, куб и т.д. Разные поверхности, разные сложности. Универсальная рекомендация. Если поверхность выбрана таким образом, что вектор будет постоянен, то можно использовать теорему Гаусса.

Пример: Рассчитать вектор , создаваемый бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью .

По теореме Гаусса (2.1.2.) имеем:

d = q

Этап 1. Выбор замкнутой поверхности. Цилиндр высотой h и радиусом r.

Этап 2. Вычисление потока вектора :

d = 2 d + d = 2 r h

Этап 3. Вычисление заряда:

Этап 4. Применение теоремы Гаусса:

2 r h = h ;

= ( / 2 r) r₀

2.1.1. Теорема Гаусса для магнитных полей

Устанавливает связь между потоком вектора и источниками магнитного поля. Магнитных зарядов в природе нет.

d = 0 (2.1.1.1.)

Cто лет назад этими двумя интегральными уравнениями ограничивались познания человечества о природе.

2.2. Закон полного тока. Ток смещения

К середине 18 столетия большинство ученых пришли к выводу, что между магнитными и электрическими явлениями нет ничего общего, это разные явления. К началу 19 века накопились факты, утверждающие, что существует связь между электрическими и магнитными явлениями. Датский ученый Эрстед сделал открытие, описав явление, но объяснение этого явления тогда было неправильно. Факт — если пропустить по проводнику электрический ток, то в окружающем пространстве возникает вихревое магнитное поле , направленное по касательной. Стрелка компаса отклоняется.

Физический смысл: Источниками магнитных полей являются движущееся заряды, т.е. ток.

Введем понятие плотности электрического тока — количество зарядов, проходящих в единицу времени, через единичную площадку к ней направленную.

На площадке S выделим элемент площадью S, покажем направление площади и плотность тока проводимости:

В некоторой ситуации имеет место сложное распределение тока.

Выделим в системе некоторый контур L, охватывающий часть токов. Вклад в циркуляцию вектора дают только токи, охватывающие выделенный контур:

Для среды с непрерывным распределением тока:

Магнитное поле могут создавать не только движущиеся заряды, но и переменное электрическое поле.

2.2.1. Ток смещения

Попытаемся на различных участках этой цепи вычислить циркуляцию вектора .

Передвинем постепенно контур L₁ к обкладкам конденсатора. Описанное равенство пока выполняется.

Неверно

Магнитное поле ведь было до обкладок, почему же оно исчезло?

Максвелл показал, что магнитное поле есть, его порождает переменное электрическое поле что между обкладками есть ток смещения.

По Максвеллу:

правильно

В общем случае могут протекать как токи проводимости, так и токи смещения.

Если ввести понятие плотности тока смещения, то:

Рассчитаем плотность тока смещения в цепи:

2.3. Закон электромагнитной индукции

Устанавливает в интегральной форме зависимость ЭДС, наведенной в контуре от магнитного потока. Сформулировал закон электромагнитной индукции Фарадей.

Площадка S опирается на контур L

Знак (-) говорит о том, что возникшая в контуре ЭДС будет создавать переменное магнитное поле, которое препятствует направлению основного поля, которое вызвало ЭДС.

2.4. Закон сохранения заряда

В замкнутой системе при любых процессах полный заряд остается неизменным. Если заряд остается неизменным, значит ничего не вышло за пределы. Если заряд меняется, значит возникает ток:

— уравнение непрерывности полного тока.