Рассмотрим электрическую цепь – четырехполюсник (рис. 4.1), имеющую фазо-частотную характеристику (ФЧХ) 
, изображенную на рис. 4.2, а, и характеристику группового времени прохождения (ГВП) 
, являющуюся производной от рабочей фазовой постоянной, – на рис. 4.2, б. Входной сигнал 
состоит из суммы двух гармоник с частотами 
и 2
(рис. 4.3, а). Форма входного сигнала изображена на этом рисунке жирной линией.
Анализ графиков ФЧХ и ГВП цепи показывает, что фаза первой гармоники почти не меняется при прохождении сигнала через цепь, а фаза второй гармоники существенно увеличивается.
В результате сложения гармоник на выходе цепи получается сигнал, форма которого отличается от входной (рис. 4.3, б).
Искажения формы сигнала при прохождении его по цепи, обусловленные нелинейностью фазо-частотной характеристики цепи или непостоянством группового времени прохождения, называются фазо-частотными искажениями.
Рис. 4.1
Условием отсутствия фазо-частотных искажений в цепи следует считать линейность рабочей фазовой постоянной 
и ФЧХ цепи (рис. 4.4, а)
(4.1)
Рис. 4.2
Рис. 4.3
Производная от фазо-частотной характеристики – это групповое время прохождения, которое для неискажающей цепи
(4.2)
должна быть постоянной на всех частотах (рис. 4.4, б).
В реальных цепях условия (4.1) и (4.2) обычно не выполняются, т. е. ФЧХ не является линейной, а ГВП – не постоянно. Такие цепи вносят фазо-частотные искажения в передаваемый сигнал. Для уменьшения подобных искажений до допустимых значений применяют фазовые корректоры.
Фазовый корректор – это четырехполюсник, включаемый каскадно с цепью и дополняющий фазовую характеристику цепи до линейной. Вместо корректирования частотной характеристики фазы можно выравнивать характеристику группового времени прохождения так, чтобы она была постоянной на всех частотах рабочего диапазона. Фазовый корректор не должен искажать АЧХ цепи.
Рис. 4.4
Рис. 4.5
На рис. 4.5 для достижения условий безискаженной передачи между генератором и нагрузкой включено каскадное соединение цепи с ФЧХ, подлежащей коррекции, и корректора. Входное сопротивление фазового корректора должно равняться сопротивлению нагрузки, чтобы условия работы цепи не изменялись по сравнению с теми, в которых находится цепь, включенная между генератором и нагрузкой в отсутствие корректора.
Передаточная функция цепи, изображенной на рис. 4.5,
.
Умножим и разделим это выражение на 
и представим его в виде произведения передаточных функций цепи 
и корректора 
.
Фазо-частотная характеристика каскадного соединения цепи и корректора
(4.3)
вычисляется как сумма ФЧХ цепи и корректора.
Из рис. 4.6 видно, что фазовый корректор должен дополнять ФЧХ цепи в рабочей полосе частот 
до линейной зависимости (рис. 4.6, а) либо дополнять групповое время прохождения цепи до постоянной величины 
в том же рабочем диапазоне частот (рис. 4.6, б). За пределами рабочего диапазона ФЧХ и ГВП могут иметь любую форму.
Рис. 4.6
Фазовые корректоры должны иметь постоянное входное сопротивление и постоянное ослабление, которые не зависят от частоты. Таким условиям удовлетворяют симметричные мостовые четырехполюсники (рис. 4.7), у которых сопротивления 
и 
реактивные и взаимообратные, т. е.
и 
, 
.
Такие четырехполюсники имеют с обеих сторон одинаковые характеристические сопротивления
,
поэтому его легко согласовывать с внутренним сопротивлением генератора и сопротивлением нагрузки.
Рабочее ослабление мостового симметричного согласованно включенного четырехполюсника с взаимно-обратными сопротивлениями 
и 
равно нулю на всех частотах: 
, т. е. эта схема не вносит никакого дополнительного ослабления сигнала.
Операторная передаточная функция по напряжению схемы рис. 4.7 имеет вид
(4.4)
Комплексная передаточная функция по напряжению схемы рис. 4.7, в которой и – реактивные двухполюсники, может быть вычислена по формуле
Рис. 4.7
(4.5)
Нетрудно видеть, что модуль передаточной функции (4.5) равен 1,а аргумент и ГВП вычисляются по формулам:
, (4.6)
, (4.7)
. (4.8)
Формулы (4.6), (4.7) и (4.8) показывают, что фазо-частотная характеристика, фазовая постоянная и характеристика группового времени запаздывания корректора зависят только от вида двухполюсника 
.
На практике используются типовые звенья пассивных фазовых корректоров первого и второго порядков.
На рис. 4.8, а изображена схема фазового корректора 1-го порядка, в котором двухполюсником 
является индуктивность 
, а двухполюсником 
– емкость 
.
Операторная передаточная функция этого корректора в соответствии с (4.4) имеет вид
, (4.9)
где 
.
Рабочая фазовая постоянная 
и ГВП в соответствии с формулами (4.7) и (4.8)
, (4.10)
Рис. 4.8
. (4.11)
Графическое изображение данных характеристик показано на рис. 4.8, б и 4.8, в.
На рис. 4.9, а изображена схема фазового корректора 2-го порядка, с двухполюсником , состоящим из последовательного соединения элементов 
и 
, т. е. 
.
Операторная передаточная функция такого корректора в соответствии с (4.4) имеет вид
Рис. 4.9
,
где 
, 
–добротность полюса передаточной функции.
Комплексная передаточная функция корректора получается при 
. (4.12)
Модуль функции равен 1, а рабочая фазовая постоянная 
и ГВП 
вычисляются в соответствии с (4.7) и (4.8) по формулам
; (4.13)
. (4.14)
Графики зависимостей и фазового корректора 2-го порядка приведены на рис. 4.9, б и 4.9, в.
Если известны коэффициенты передаточной функции 
, 
и нагрузка 
, то параметры элементов корректора рассчитываются по формулам
; (4.15)
. (4.16)
Пример 4.1
Фазовый корректор (рис. 4.8, а) имеет элементы 
= 100 мГн, 
= 500 Ом. Рассчитать и построить графики частотных зависимостей фазовой постоянной 
и группового времени прохождения 
в диапазоне частот от 0 до 10 кГц.
Фазовая характеристика 
рассчитывается по формуле (4.10), поэтому
.
ГВП 
рассчитывается по формуле (4.11), поэтому
.
Подставляя в выражения для и значения 
= 
Гн и = 500Ом, получаем
Таблица 4.1
| f, кГц | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|
| 0 | 1,8 | 2,38 | 2,75 | 2,88 | 2,94 | 2,98 |
|
| 400 | 155 | 96 | 55 | 38 | 29 | 24 |
, рад
, мкс
Результаты расчета и в диапазоне частот f = = 0 ё 10 кГц приведены в таблице 4.1, а графики – на рис. 4.10, а и 4.10, б.
Рис. 4.10
Пример 4.2
Схема фазового корректора приведена на рис. 4.9, а. Рассчитать и построить графики частотных зависимостей фазовой постоянной 
и ГВП 
в диапазоне частот от 0 до 10 кГц для двух случаев:
= 600 Ом; 
= 36 мГн, 
= 0,025 мкФ;- = 600 Ом; = 36 мГн,
= 600 Ом; 
= 36 мГн, 
= 0,025 мкФ;= 0,05 мкФ.
Фазовая характеристика 
корректора рассчитывается по формуле (4.13), а ГВП 
по формуле (4.14), поэтому
,
,
где 
, 
.
Рассчитаем значения 
и 
для двух случаев задания параметров элементов корректора:
(рад/с)2;
.
(рад/с)2;
.
Подставляя значения и в выражения для расчета и , рассчитываем эти характеристики в диапазоне частот от 0 до 10 кГц и заносим результаты расчета в таблицу 4.2 для случая 1) и в таблицу 4.3 для случая 2).
Поскольку график 
имеет максимум (рис. 4.9, в), то для определения частоты этого максимума берем производную 
и, приравняв ее к нулю, находим
(4.17)
или 
для первого случая ( = 2) и 
= 2,42 кГц для второго случая ( =1,41).
В общем случае анализ выражения (4.17) показывает, что при Х 
ГВП имеет максимум на частоте f =0, а при < = 1,73 максимум ГВП – на частоте .
Значение 
рассчитывается по формуле
. (4.18)
Для второго случая, когда Q = 1,41, имеем = 144 мкС. Следует также отметить, что при . 1 формулы (4.17) и (4.18) существенно упрощаются:
. (4.19)
Таблица 4.2
| f, кГц | 0 | 2 | 4 | 5,3 | 8 | 10 | ||||||
|
| 0 | 1,44 | 2,59 | 3,14 | 4,11 | 4,35 | ||||||
|
| 120 | 106 | 73,5 | 60 | 34,8 | 26,2 | ||||||
, рад
, мкс
Таблица 4.3
| f, кГц | 0 | 1 | 2,42 | 3,76 | 6 | 8 | 10 | |||||
|
| 0 | 0,77 | 2,0 | 3,14 | 4,35 | 4,87 | 5,19 | |||||
|
| 120 | 117 | 144 | 120 | 57,6 | 30,8 | 18,9 | |||||
Графики зависимостей 
и 
для двух случаев приведены на рис. 4.11 (обозначены цифрами 1 и 2).
Рис. 4.11
Рис. 4.12
Мостовая схема не всегда удобна в реализации, так как является уравновешенной. Существует ряд эквивалентных схем в виде неуравновешенной схемы, как показано на рис. 4.12. Заметим, что на практике добротность полюса больше единицы и поэтому чаще используется схема рис. 4.12, а, что удобно, так как она не содержит связанных индуктивностей с заданным коэффициентом связи. Неуравновешенные схемы по сравнению с мостовыми содержат вдвое меньше элементов.
Помимо пассивных фазовых корректоров применяют активные фазовые корректоры. Кроме пассивных RC или RLC-элементов схемы активных корректоров содержат операционные усилители. Существуют активные фазовые звенья 1-го и 2-го порядков. На рис. 4.13 приведена схема фильтрового звена на операционном усилителе. Передаточная функция этого звена вычисляется по формуле
Рис. 4.13
, (4.20)
где 
.
Выражение (4.20) аналогично формуле для расчета передаточной функции пассивного фазового корректора (4.9), т. е. схема, приведенная на рис. 4.13, – это активный корректор 1-го порядка.
Фазовые характеристики 
и ГВП данного звена, также как у пассивного корректора 1-го порядка, вычисляются по формулам
,
.
График 
монотонно нарастает от 
до 
, а график 
монотонно убывает от 
до 
. На рис. 4.14 показаны графики и , построенные для разных значений 
активного корректора 1-го порядка.
Рис. 4.14
На рис. 4.15 приведена еще одна схема активного фазового корректора, также построенная на основе активного фильтрового звена. Если в схеме рис. 4.15 задать 
, 
, n > 1, то передаточная функция, рассчитанная, например, с помощью метода узловых напряжений, будет иметь вид
. (4.21)
Рис. 4.15
Это передаточная функция фазового корректора (сравни с формулой (4.4)).
Если в качестве двухполюсника Z выбрать емкость, то передаточная функция (4.21) принимает вид (4.20):
,
т. е. схема на рис. 4.15 – это схема фазового корректора 1-го порядка.
Когда в качестве двухполюсника Z используется последовательный LC-контур, то получается передаточная функция фазового корректора 2-го порядка:
,
где 
, 
– добротность полюса передаточной функции.
Графики частотных зависимостей 
и 
данного корректора, полученные для разных значений 
, приведены на рис. 4.16.
Рис. 4.16
Хотя активные ARZ-фазовые корректоры имеют индуктивность, но преимуществом их по сравнению с пассивными корректорами является меньшее количество элементов при том же порядке передаточных функций.
Пример 4.3
Определить передаточную функцию фазового корректора, построенного по схеме рис. 4.13, в которой в качестве двухполюсника Z используется параллельный LC-контур. Рассчитать и построить качественно частотную характеристику ГВП 
корректора в диапазоне частот от 0 до 5 кГц для элементов цепи 
= 37,5 Ом, L = 36 мГн, C = 1,6 мкФ.
Найдем сопротивление 
параллельного LC-контура:
.
Подставив в формулу (4.21), получим передаточную функцию фазового корректора
где 
, 
.
ГВП рассчитывается по формуле (4.14), в которой 
,
.
Находим значения 
и 
:
(рад/с)2,
рад/с, 
кГц,
.
Поскольку 
, то находим значения 
и 
по формулам (3.17) и (3.18):
Рис. 4.17
кГц, 
= 3,7 мС.
Рассчитываем значения 
на частотах 
= 0 и 
= 5 кГц по формуле (4.14). Получаем 
= 1,92 мС и 
= 0,12 мС.
График зависимости приведен на рис. 4.17.
При синтезе фазовых корректоров задаются характеристика ГВП корректируемой цепи, сопротивление нагрузки 
, точность коррекции и диапазон частот 
, в котором осуществляется коррекция. Вначале определяют требуемую характеристику фазового корректора. Для этого задают постоянное значение ГВП 
, которое должно быть несколько больше максимального значения ГВП цепи (рис. 4.6, б):
.
Затем любым способом определяют площадь 
под характеристикой требуемого ГВП корректора, например, площадь можно рассчитать по формуле
.
После этого приближенно можно определить число фазовых звеньев второго порядка, необходимых для коррекции, так как площадь под кривой группового времени фазового звена второго порядка равна 2p
.
В данной формуле коэффициентом 1.1 учитывается то, что не вся площадь под характеристикой фазового звена попадает в диапазон коррекции.
Зная число звеньев, задаемся в первом приближении их параметрами 
и 
, k = 1 … n. Для начала частоты распределяются равномерно, добротность определяют из условия требуемой величины группового времени звена на частоте 
. Эта величина выбирается на 10 … 20% меньше, чем требуемое групповое время корректора на этой частоте. Из сказанного и формулы (4.17) следует
,
где m = 0,8 … 0,9.
На рис. 4.18 показаны характеристики ГВП четырех фазовых звеньев, требуемая и реальная характеристики ГВП корректора.
Рис. 4.18
Далее с применением компьютерных программ решается оптимизационная задача в общей постановке:
.
Если полученный минимум меньше или равен требуемой точности коррекции, то по заданным 
и 
рассчитывают элементы 
и 
мостовой схемы фазового звена (рис. 4.9, а). Остальные элементы находят из условия, что двухполюсники 
и 
обратные:
.
Если полученная точность коррекции не удовлетворяет требованиям, то увеличивают число звеньев и повторяют расчет также с помощью компьютера.
Вопросы и задания для самопроверки
1. Сформулировать условия безискаженной передачи сигнала.
2. Почему происходят фазо-частотные искажения?
3. Что такое групповое время прохождения?
4. По рис. 4.6 пояснить, как работает фазовый корректор.
5. Каким образом строятся пассивные фазовые корректоры?
6. Как рассчитываются передаточные функции 
, фазовые характеристики 
и ГВП 
мостовых фазовых корректоров 1-го и 2-го порядков?
7. Как изменится график 
в Примере 4.1, если индуктивность 
уменьшить в 2 раза.
8. Определить параметры элементов фазового корректора 2-го порядка (рис. 4.9) по заданным коэффициентам передаточной функции 
, 
= 0,25 и 
= 600 Ом.
Ответ: 
= 36 мГн; 
= 1,6 мкФ; 
= 0,58 Гн; 
= 0,1 мкФ.
9. Каким образом строятся активные фазовые корректоры?
10. Доказать, что операторная передаточная функция 
корректора, изображенного на рис. 4.13, имеет вид (4.20).
11. Каким образом на основе схемы рис. 4.15 получить фазовые корректоры 1-го и 2-го порядков?
12. Как изменится график 
в Примере 4.3, если сопротивление 
: 1) увеличить в 4 раза; 2) увеличить в 10 раз; 3) уменьшить в 2 раза?
13. Каков алгоритм расчета фазовых корректоров?