2. Электрические фильтры

Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико, называется полосой непропускания (задерживания). Между этими полосами находится переходная область.

По расположению полосы пропускания на шкале частот различают следующие фильтры:

• нижних частот (ФНЧ), в которых полоса пропускания располагается на шкале частот от w = 0 до некоторой граничной частоты , а полоса непропускания (задерживания) – от частоты до бесконечно больших частот (рис. 2.1, а);

Рис. 2.1

• верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты до бесконечно больших частот и полосой непропускания от частоты w = 0 до (рис. 2.1, б);
• полосовые (ПФ), в которых полоса пропускания располагается между полосами непропускания и (рис. 2.1, в);
• заграждающие (режекторные) (ЗФ или РФ), в которых между полосами пропускания и находится полоса непропускания (рис. 2.1, г);
• многополосные, имеющие несколько полос пропускания.

На рис. 2.1, а – г показаны также условные обозначения фильтров каждого типа в соответствии с ГОСТ.

В соответствии с используемой элементной базой к настоящему моменту выделились несколько классов фильтров. Исторически первыми (и все еще наиболее широко применяемыми) являются пассивные фильтры, содержащие элементы L и С. Они носят название LC-фильтров.

Во многих случаях на практике требовалась крайне высокая избирательность (различие ослаблений в полосах пропускания и непропускания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, магнитострикционных, электромеханических.

По-видимому, самые значительные достижения в области теории и проектирования фильтров связаны с успехами микроэлектроники. Требования микроминиатюризации радиоэлектронной аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах, и не поддаются исполнению в микроминиатюрном виде. Появились активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов). Эти фильтры могут быть выполнены в виде микромодульной конструкции или интегральной схемы. Применение активных RC-фильтров ограничивается пока сравнительно небольшим диапазоном частот до десятков (иногда сотен) килогерц.

Разработка цифровых систем связи и достижения в области цифровых вычислительных машин стимулировали создание фильтров на базе элементов цифровой и вычислительной техники – цифровых фильтров. В силу специфики элементной базы фильтров не будем далее упоминать о них, хотя расчет таких фильтров производится методами теории электрических цепей. Заинтересованные читатели могут обратиться к специальной литературе по цифровым фильтрам.

В идеальном случае (идеальный фильтр) характеристика рабочего ослабления, например для ФНЧ, имеет вид, показанный на рис. 2.2, а. С рабочим ослаблением связана рабочая амплитудно-частотная характеристика (АЧХ): . На рис. 2.2, б изображена АЧХ идеального фильтра нижних частот.

Рис. 2.2

Реальные фильтры (т. е. фильтры, состоящие из реальных элементов) имеют характеристики рабочего ослабления и амплитудно-частотную, отличные от идеальных.

Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так, рабочее ослабление в полосе пропускания не должно превышать некоторого максимального допустимого значения , а в полосе непропускания не должно быть ниже некоторого минимально допустимого значения . Нетрудно изобразить эти требования графически, как это сделано на рис. 2.3, а. На этом рисунке и – граничные частоты полос пропускания и непропускания.

Рис. 2.3

Зная требования к , можно пересчитать их в требования к АЧХ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ (рис. 2.3, б):

Характеристики проектируемых фильтров должны «укладываться» в эти требования (рис. 2.3, а и б).

Помимо требований к частотной зависимости рабочего ослабления (а значит, и к АЧХ) могут задаваться также требования к фазочастотной характеристике фильтра (скажем, допустимые отклонения от линейного закона) и величине нелинейных искажений (обусловленных, например, наличием железа в катушках индуктивности). Могут предъявляться требования и к другим характеристикам и параметрам фильтра. Ниже будем учитывать только требования к рабочему ослаблению и АЧХ.

Идеальные частотные характеристики фильтра (см. рис. 2.2, а) заведомо нереализуемы. Частотные характеристики реальных фильтров могут лишь приближаться к ним с той или иной степенью точности в зависимости от сложности схемы фильтра.

В общем виде электрические фильтры описываются передаточной функцией вида (1.8)

. (2.1)

Квадрат амплитудно-частотной характеристики таких фильтров (см. (1.12))

(2.2)

и, следовательно, рабочее ослабление

(2.3)

могут при надлежащем выборе степени полинома (порядка фильтра) и коэффициентов удовлетворить заданным требования (см. рис. 2.3).

В теории фильтров принято иметь дело не с обычной угловой частотой w , а с нормированной частотой , где – нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей частоты выбирают граничную частоту полосы пропускания , так что .

В теории электрических фильтров вместо формул (2.2) и (2.3) используют другие, также универсальные для любого типа фильтра:

; (2.4)

. (2.5)

Функция называется функцией фильтрации. В общем случае – это дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами (в частности полином), удовлетворяющая условиям: –1 Ф Ф 1 в полосе пропускания и . 1 в полосе непропускания фильтра.

В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров. Если в качестве функции фильтрации используют полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широкое использование нашли фильтры Баттерворта и Чебышева. Если – дробно-рациональная функция (1.8), например, дробь Золотарева, то получают фильтр Золотарева. Все эти три типа фильтров будут рассмотрены в этой главе.

Следует отметить, что имеет смысл подробно изучать только фильтры нижних частот, т.к. другие типы фильтров (верхних частот, полосовые и заграждающие) могут быть легко получены из ФНЧ с помощью замены переменной (частоты). Для этого во всех выражениях, содержащих переменную W , нужно произвести замену переменной таким образом, чтобы характеристики ФНЧ ( и ) перешли в характеристики соответствующего фильтра. Подобная замена переменной W называется преобразованием частоты, а исходный ФНЧ – фильтром НЧ-прототипа.

Преобразование частоты позволяет установить соответствие между частотами полос пропускания и непропускания НЧ-прототипа и частотами фильтра верхних частот (полосового или заграждающего), а также преобразовать схему ФНЧ в схему ФВЧ (ПФ или ЗФ). Более подробно вопросы, связанные с преобразованием частоты, будут рассматриваться в этой главе.

Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (2.4) и его рабочее ослабление (2.5), в качестве функции фильтрации используются полиномы Баттерворта (по имени автора, предложившего использовать их для «конструирования» частотных характеристик фильтра), то такие фильтры называются фильтрами Баттерворта.

Из формул (2.4) и (2.5) следует, что для фильтров Баттерворта на частоте W = 0 значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабления – нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно большого значения. Таким образом, выражения (2.4) и (2.5) приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.

Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к фильтру требования (см. рис. 2.3), необходимо иметь рабочее ослабление (2.5) в полосе пропускания меньшее , а в полосе непропускания большее . Первому условию можно удовлетворить, если потребовать на граничной частоте полосы пропускания (W = 1) выполнения равенства или . Отсюда с учетом (2.5) или (2.4) имеем и . Вычисленный таким способом коэффициент e

(2.6)

называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания фильтра.

В формуле (2.6) величина имеет размерность непер. Если воспользоваться значениями в децибелах, то

. (2.7)

С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттерворта запишется в виде

. (2.8)

Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных четырехполюсников, и поэтому ей можно сопоставить физически осуществимый электрический фильтр.

Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:

. (2.9)

Рис. 2.4

Крутизна частотных характеристик (2.8) и (2.9) зависит от степени m (порядка фильтра).Чем больше степень m, тем выше крутизна характеристик. На рис.2.4, а, и б показаны графики рабочего ослабления и квадрата АЧХ фильтра Баттерворта для различных m. Таким образом, для удовлетворения требований в полосе непропускания необходимо выбрать соответствующий порядок фильтра m. Его легко определить из условия: на граничной частоте полосы непропускания Х или Ф . С учетом этого условия получим 1 + > , откуда Х . Логарифмируя обе части неравенства, придем к выражению

Х .

Из него находим окончательно

Х . (2.10)

Величина входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в децибелах, то

Х . (2.11)

Передаточную функцию фильтра Баттерворта можно получить из (2.8), если положить :

. (2.12)

и разложить знаменатель полученной функции на произведение сомножителей.

Вычислим корни знаменателя, т. е. полюсы функции , отдельно для четных и нечетных значений m. Для четных значений m

и k = 1, 2, …, 2m.

Так как

,

имеем

(2.13)

Для нечетных значений m

Выражение (2.12) примет вид

.

Половина полюсов функции лежит в левой полуплоскости комплексной переменной p и может быть отнесена к передаточной функции реализуемого фильтра . Другая половина полюсов, являясь зеркальным отражением первой, располагается в правой полуплоскости и относится к .

Построенная из полюсов, лежащих в левой полуплоскости, передаточная функция фильтра Баттерворта является полиномиальной передаточной функцией типа (2.1):

,

где .

Пример 2.1

Найти выражения для частотной характеристики и передаточной функции фильтра нижних частот Баттерворта, удовлетворяющего следующим требованиям: = 3 дБ; = 12,2 дБ; = 159 кГц; = 318 кГц.

Определим нормированную частоту = 2 и по формуле (2.7) коэффициент неравномерности ослабления . Порядок фильтра найдем согласно (2.11):

m Х .

Выберем m =2. Тогда в соответствии с (2.8) и (2.9)

.

Найдем передаточную функцию фильтра . Значения полюсов функции вычислим из формулы (2.13): = 0,707 + j0,707; = = – 0,707 + j0,707; = – 0,707 – j0,707; = 0,707 –
– j0,707. Расположение полюсов в комплексной плоскости показано на рис. 2.5, а.

Рис. 2.5

По теореме Виета из полюсов в левой полуплоскости и формируем передаточную функцию

.

Используя введенное ранее обозначение полинома Баттерворта, можно представить частотные характеристики (2.8) и (2.9) фильтра Баттерворта в следующей форме:

(2.14)

Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максимально плоским ослаблением в полосе пропускания (см. рис. 2.4, а).

Если в качестве функции фильтрации в (2.4) и (2.5) использовать полином Чебышева, обозначаемый , то формулы (2.14) примут вид:

(2.15)

где – полином Чебышева степени (порядка) m; e – коэффициент неравномерности, определяемый (2.6) или (2.7).

Фильтры с частотными характеристиками (2.15) называются фильтрами Чебышева. Проанализируем частотные характеристики фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства полиномов . Ниже приведены шесть первых полиномов Чебышева:

  (2.16а)

Любой полином Чебышева при m Х 2 может быть вычислен по рекуррентной формуле . Таким образом, выражения (2.15) удовлетворяют общим выражениям (2.1) – (2.3) характеристик полиномиальных фильтров.

Существует единая тригонометрическая форма записи полиномов Чебышева в интервале –1 Ф W Ф 1:

. (2.16б)

Действительно, ; ; . Вне интервала –1 Ф Ф  W  Ф 1 полиномы также представляются в тригонометрической форме:

. (2.16в)

Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интервале –1 Ф  W  Ф 1 угол изменяется от –p (при W = –1) до 0 (при W = 1), поэтому полином ровно m раз принимает значения, равные нулю, и m + 1 раз достигает значений, равных +1 или –1 и чередующихся друг с другом. Вне интервала –1 Ф  W  Ф 1 полином согласно формуле (2.16в) монотонно возрастает. В качестве примера на рис. 2.6, а изображен график полинома Чебышева , т. е. полинома четвертого порядка.

Рис. 2.6

В соответствии с (2.15) рабочее ослабление фильтра Чебышева на тех частотах W , где полином обращается в нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых равен ± 1, рабочее ослабление достигает величины

С ростом значений полинома на частотах W > 1 рабочее ослабление также монотонно растет. На рис. 2.6, б приведен график рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка.

Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания.

На рис. 2.7 показаны частотные зависимости квадрата АЧХ фильтра Чебышева для различных значений m, полученные для из (2.15). Подобные зависимости могут быть построены для рабочего ослабления фильтра.

Рис. 2.7

Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе непропускания, необходимо выбрать порядок фильтра m из условия Ф . Для полосы непропускания определяется формулой (2.16в), следовательно, Х . Отсюда Х . Далее Х   и m Х .

В этой формуле величина измеряется в неперах. При использовании единицы децибел порядок фильтра вычисляется из выражения

m Х .

Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются полиномами наилучшего приближения. Это означает, что при одинаковом значении m из всех полиномиальных фильтров, ослабления которых в полосе пропускания не превышают , наибольшие значения ослабления в полосе непропускания имеет фильтр Чебышева. В частности, рабочее ослабление фильтра Чебышева в полосе непропускания может превышать (и весьма значительно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных значениях m и . Однако характеристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный характер и легче поддается корректированию для устранения искажений передаваемых сигналов.

Выбор типа полиномиальных фильтров определяется конкретными условиями их применения в аппаратуре связи и радиотехнических устройствах.

Для получения передаточной функции фильтра Чебышева поступим аналогично тому, как делали это для фильтров Баттерворта. Заменим оператор jW на оператор р и перейдем от функции к функции

.

Представим полином в виде (2.16б) и найдем полюсы функции , решив уравнение

. (2.17)

Поскольку согласно (2.16а) коэффициент при старшем члене полинома Чебышева равен , то коэффициент при старшем члене полинома в левой части приведенного выше уравнения равен .

Корни уравнения (2.17), как можно доказать, определяются аналитически следующим выражением:

, (2.18)

где .

Из корней в левой полуплоскости составляются сомножители , и по теореме Виета строится передаточная функция фильтра

,

где .

Пример 2.2

Построить передаточную функцию фильтра Чебышева второго порядка (m = 2), рабочее ослабление в полосе пропускания (от 0 до 159 кГц) которого не превышает величину = 3 дБ. Граничная частота полосы непропускания 318 кГц.

Коэффициент неравномерности e такого фильтра согласно (2.7) равен 1. Рабочее ослабление на частоте = = 318/159 = 2 составляет  17 дБ, что почти на 5 дБ превышает рабочее ослабление на этой же частоте фильтра Баттерворта второго порядка (см. Пример 2.1).

Расчет полюсов функции по формулам (2.18) дает величины: = 0,322 + j0,777; = 0,322 –
– j0,777; = –0,322 – j0,777; = –0,322 + j0,777. Расположение полюсов в комплексной плоскости показано на рис. 2.5, б.

Передаточная функция фильтра

.

В заключение отметим, что для полиномиальных фильтров в справочниках составлены весьма полные таблицы полюсов и коэффициентов передаточных функций для различных величин и m. Порядок же фильтров m определяется по специальным графикам, исходя из заданных величин , и .

Частотные характеристики полиномиальных фильтров, описываемые выражениями (2.1) – (2.3), имеют монотонный характер в полосе непропускания. В частности, рабочее ослабление таких фильтров монотонно возрастает по мере удаления от полосы пропускания (рис. 2.4, а и 2.6, б).

При «жестких» требованиях к частотным характеристикам (малая переходная область между полосами пропускания и непропускания и большая величина рабочего ослабления в полосе непропускания) порядок фильтра m может получиться очень большим даже в случае применения полинома Чебышева. Это приведет к существенному усложнению фильтра и к излишнему «расходу» элементов.

Рис. 2.8

В таких случаях целесообразно применять фильтры со всплесками рабочего ослабления в полосе непропускания (рис. 2.8, а). На частотах всплеска , и т. д. рабочее ослабление фильтра стремится к бесконечности; за счет этого возрастает крутизна характеристики ослабления в переходной области. Соответственно АЧХ фильтра на частотах , и т. д. будет обращаться в нуль (рис. 2.8, б).

Для выполнения указанных условий в выражениях (2.2) – (2.3) используют рациональные дроби вида:

; (2.19)

. (2.20)

Действительно, когда W принимает значения 0 и .

Передаточная функция таких фильтров является дробно-рациональной:

(2.21)

и кроме полюсов имеет нули

.

Фильтры со всплесками рабочего ослабления называют еще фильтрами с нулями передачи.

Среди фильтров со всплесками ослабления наиболее широкое распространение получили фильтры, построенные на основе дробей Чебышева и Золотарева. Чтобы получить частотные характеристики фильтра на основе дробей Чебышева, нужно в формулах (2.14) или (2.15) использовать в качестве функции фильтрации дробь Чебышева. Обозначая ее , получим

(2.22)

В качестве примера укажем дробь Чебышева пятого порядка, для которой построены графики и на рис. 2.8, а и б:

,

где , и – коэффициенты, связанные с частотами всплеска и .

Очевидно, что подстановка этой дроби в (2.22) приведет после некоторых преобразований к выражениям общего вида (2.19) и (2.20).

В полосе пропускания дробь Чебышева ведет себя так же, как и полином Чебышева, т. е. рабочее ослабление фильтра носит равноволновый характер. На частотах всплеска и дробь Чебышева обращается в бесконечность, что приводит к бесконечно большому рабочему ослаблению.

Следует отметить, что дробь Чебышева является дробью наилучшего приближения. Это означает, что фильтр на основе дроби Чебышева на любой частоте полосы непропускания имеет большее значение рабочего ослабления по сравнению с фильтрами на основе других дробей (и полиномов, как частных случаев дробей) при прочих равных условиях (при одинаковых порядках m, при таком же количестве и расположении частот всплеска и тех же величинах ).

Частным случаем дробей Чебышева являются дроби Золотарева:

, (2.23)

где , , значение S равно 0 для четных m и равно 1 для нечетных m; m – порядок дроби; , – нули и полюсы дроби, связанные соотношением .

Используя в качестве функции фильтрации в (2.14) и (2.15) дроби Золотарева, получим

(2.24)

Из формул (2.23) и (2.24) следует, что нули функции совпадают с нулями дроби Золотарева, а всплески функции – с полюсами этой же дроби. Нули и полюсы дроби Золотарева можно рассчитывать, однако обычно их определяют по каталогам для операторных передаточных функций ФНЧ. На рис. 2.9 показан график для фильтра Золотарева пятого порядка.

Рис. 2.9

Дроби Золотарева так же, как и полиномы Чебышева, дают равноволновую характеристику рабочего ослабления фильтра в полосе пропускания. Однако в полосе непропускания у фильтров Золотарева значения всех минимумов рабочего ослабления оказываются одинаковыми и равными значению рабочего ослабления на частоте . Такие фильтры называются также фильтрами с изоэкстремальными характеристиками рабочего ослабления.

Фильтры с характеристиками Золотарева можно рассматривать как частный случай фильтров с характеристиками Чебышева, когда значения минимумов ослабления фильтра в полосе непропускания выравнены, а число всплесков – максимально возможное при выбранном значении m.

Любые из рассмотренных выше фильтров, как полиномиальные, так и со всплесками ослабления, в зависимости от особенностей их применения могут быть реализованы либо в виде пассивных LC-цепей, либо в виде активных RC-цепей.

Рис. 2.10

Пассивные LC-фильтры обычно представляют собой реактивный лестничный четырехполюсник, включенный между генератором с активным внутренним сопротивление и нагрузкой с активным сопротивлением (рис. 2.10). Входное сопротивление реактивного четырехполюсника, нагруженного на сопротивление , обозначено на рисунке .

Если фильтр со стороны зажимов 1 – 1ў рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой , то, зная выражение , можно реализовать данный двухполюсник одним из известных в теории цепей методов синтеза двухполюсников. Таким образом, задача реализации фильтра сводится к реализации двухполюсника по его заданному входному сопротивлению. Идея данного подхода принадлежит С. Дарлингтону и метод реализации фильтров называется методом Дарлингтона.

На входе фильтра имеет место несогласованность, которую можно оценить, введя в рассмотрение коэффициент отражения

. (2.25)

Решая (2.25) относительно , получаем

. (2.26)

В (2.26) неизвестным является коэффициент отражения . В свою очередь, коэффициент отражения связан с передаточной функцией следующим соотношением:

. (2.27)

Из (2.27) следует, что знаменатель у такой же, как и у : им является полином . Остается найти нули правой части выражения (2.7) и половину из них «приписать» полиному числителя . Последний формируется из нулей по теореме Виета.

Пример 2.3

Реализовать фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка из Примера 2.1 в виде пассивной LC-схемы. Внутреннее сопротивление генератора 1 кОм.

В Примере 2.1 была получена передаточная функция Баттерворта второго порядка для нормированных значений частоты , где . Реализация нормированной передаточной функции приведет к схеме с нормированными значениями реактивных элементов (обозначим их ), которые затем необходимо денормировать для получения реальных значений.

В соответствии с (2.27)

Нули этой функции . Полином числителя в соответствии с теоремой Виета равен . Отсюда .

Согласно (2.26)

.

Реализацию двухполюсника со входным сопротивлением осуществим разложением в цепную (лестничную) дробь по методу Кауэра. Представим и проведем разложение проводимости:

 

Рис. 2.11

Процесс разложения закончен. Входное сопротивление , представленное цепной дробью, имеет вид

.

Схема двухполюсника, входное сопротивление которого соответствует данной цепной (лестничной) дроби, приведена на рис. 2.11. Нормированные значения элементов , . Активная проводимость нагрузки не нормируется и равна См, т. е. сопротивление нагрузки кОм. Денормировать значения элементов можно следующим образом. Комплексная проводимость нормированной емкости , откуда ненормированное значение емкости Ф = 1,41 нФ.

Подобным образом комплексное сопротивление нормированной индуктивности или Гн = 1,41 мГн.

Аналогично рассмотренному примеру решается задача реализации фильтра любого порядка. Например, полиномиальный ФНЧ пятого порядка (m = 5) реализуется в виде одной из двух схем, показанных на рис. 2.12, а и б. Количество реактивных элементов определяется порядком фильтра m. Отличие фильтра Баттерворта от фильтра Чебышева будет заключаться в этом случае только в разных значениях реактивных элементов, получаемых в процессе реализации соответствующих передаточных функций.

Рис. 2.12

По подобной схеме осуществляется и реализация передаточных функций фильтров со всплесками затухания (Чебышева или Золотарева). Разложение входного сопротивления таких фильтров в цепную дробь приведет к схемам, содержащим резонансные контуры, в которых резонансы происходят на частотах , … Наличие этих контуров и обеспечивает бесконечно большое затухание на частотах всплеска.

Рис. 2.13

Так, ФНЧ пятого порядка со всплесками затухания на частотах и реализуется в виде одной из схем, приведенных на рис. 2.13, а и б. И в первой и во второй схемах контуры рассчитаны на резонансные частоты и . В первой схеме в параллельных контурах происходят резонансы токов; сопротивления контуров принимают бесконечно большие значения. В результате на частотах резонансов и наблюдается «обрыв» продольных ветвей фильтра и сигнал от генератора в нагрузку не поступает, т. е. фильтр вносит бесконечно большое ослабление. Во второй схеме в последовательных контурах происходят резонансы напряжений; сопротивления контуров обращаются в нуль. Таким образом, здесь на частотах и поперечные ветви «закорачивают» нагрузку и сигнал на выход фильтра не поступает. Таким образом, имеет место бесконечно большое ослабление.

Фильтры, представляющие собой комбинацию пассивной RC-цепи и активного элемента, называются активными RC-фильтрами. В качестве активного элемента чаще всего используются операционные усилители с двумя входами: инвертирующим и неинвертирующим.

Реализация передаточных функций фильтров на активных RC-цепях осуществляется следующим образом. Заданную функцию порядка m разбивают на произведение передаточных функций не выше второго порядка, т. е. .Каждую передаточную функцию реализуют в виде ARC-звена первого или второго порядка. Схему ARC-фильтра получают путем каскадного соединения звеньев.

Пример 2.4

Пусть задана передаточная функция полиномиального фильтра Чебышева пятого порядка.

.

Полюсы этой функции (корни знаменателя): = –0,177; ; . Вещественный полюс дает по теореме Виета сомножитель первого порядка ; первая пара комплексно-сопряженных полюсов и – сомножитель второго порядка ; вторая пара полюсов и – сомножитель . Тогда

Таким образом, фильтр Чебышева пятого порядка может быть реализован двумя звеньями с передаточными функциями второго порядка и одним звеном с передаточной функцией первого порядка.

В практике проектирования активных RC—фильтров используется большое число схем, реализующих передаточные функции первого и второго порядка. Один из способов построения таких схем показан на рис. 2.14, а. Пассивная часть схемы представлена в виде цепи из элементов R и С. Между зажимами 2 и 3 включен операционный усилитель, в котором использован инвертирующий вход. Примером пассивной RC-цепи является схема, приведенная на рис. 2.14, б. Передаточная функция изображенной на рис. 2.14, б активной RC-цепи может быть получена любым из методов теории цепей и имеет вид:

Рис. 2.14

. (2.28)

Для реализации в виде такой цепи полиномиального фильтрового звена второго порядка с передаточной функцией

. (2.29)

нужно выбрать проводимости , и активными: , и , а проводимости и – емкостными: и . Тогда (2.28) запишется в следующей форме:

. (2.30)

Сопоставление коэффициентов при р в соответствующих степенях и свободных членов из (2.30), выраженных через элементы фильтра, с заданными числовыми значениями коэффициентов при р и свободных членов из (2.29) позволяет определить значения элементов фильтра.

Пример 2.5

Реализовать фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка из Примера 2.1 в виде активной RC-цепи.

Передаточная функция НЧ фильтра Баттерворта второго порядка была получена ранее . Для сопоставления с ней передаточной функции (2.30) представим последнюю в виде, когда коэффициент при равен 1:

.

Приравнивая коэффициенты при р и свободные члены этих передаточных функций, получаем три уравнения с шестью неизвестными и : = 1; ; .

Следует учесть, что в уравнения входят нормированные значения емкостей и , так как коэффициенты передаточной функции фильтра Баттерворта получены для нормированной частоты (где рад/с).

Поскольку искомых величин больше, чем уравнений, зададимся частью из них. Выберем приемлемые значения проводимостей и , например См, т. е. 1 кОм. Далее из второго уравнения легко получить , а из первого и третьего уравнений – . Денормированные значения емкостей нФ, нФ.

Схема фильтра приведена на рис. 2.15.

Рис. 2.15

Реализация фильтров со всплесками ослабления, передаточные функции которых описываются выражением (2.21), осуществляется так же, как и реализация полиномиальных фильтров. Передаточная функция (2.21) разбивается на произведение простейших (первого и второго порядков) передаточных функций; последние реализуются в виде фильтровых RC-звеньев первого и второго порядков, соединяемых каскадно в общую схему фильтра.

Для реализации передаточных функций второго порядка с нулем передачи используются специальные фильтровые ARC-звенья.

Более подробно методику синтеза активных RC-фильтров со всплесками ослабления можно изучить, обратившись к специальной литературе.

Для синтеза фильтров верхних частот (полосовых или заграждающих) и, в частности, для нахождения их передаточных функций, можно было бы заново повторить все преобразования, примененные к фильтрам нижних частот. Однако такой подход нерационален. Обычно для расчета ФВЧ, ПФ или ЗФ используют преобразование шкалы частот ФНЧ-прототипа.

Рис. 2.16

На рис. 2.16 приведены характеристики ослабления фильтров: нижних частот (а), верхних частот (б) полосового (в) и заграждающего (г). Для ФНЧ эта характеристика построена как для положительных, так и для отрицательных частот. Шкала частот для каждого фильтра помечена для удобства буквенными обозначениями: «нч», «вч», «пф», «зф».

Из рис. 2.16, а и б видно, что характеристика ослабления ФНЧ в отрицательной области частот повторяет характеристику ФВЧ. Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ можно с помощью замены переменной

, (2.31)

где – граничная частота полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ. Действительно, такое преобразование частоты приводит к соответствию: частоты частоте ; частоты частоте ; частоты частоте .

Чтобы из характеристики ФНЧ получить характеристику ПФ (рис. 2.16, в), необходима замена переменной

, (2.32)

где ; и – граничные частоты полосы пропускания ПФ; и – граничные частоты полосы нерпопускания ПФ.

Преобразование частоты (2.32) приводит к соответствию частоты частоте , частоты частоте , частоты частоте .

Характеристику (рис. 2.16, г) заграждающего фильтра можно получить из характеристики ФНЧ, применяя преобразование частоты

. (2.33)

Замена переменных (2.31) и (2.32) в выражении для квадрата АЧХ фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное сопротивление ФНЧ переходит при преобразовании частот (2.31) в сопротивление:

,

т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где .

Емкостная проводимость

переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктивностью .

Преобразование частоты (2.32) приводит к замене индуктивного сопротивления ФНЧ

сопротивлением последовательного контура в ПФ с элементами и .

Емкостная проводимость ФНЧ

заменяется в ПФ проводимостью параллельного контура с элементами и .

Нетрудно убедиться также, что индуктивный элемент ФНЧ преобразуется в ЗФ в параллельный колебательный контур с резонансной частотой , а емкость ФНЧ – в последовательный колебательный контур с той же резонансной частотой.

Пример 2.6

Рассчитать полосовой фильтр с характеристиками Баттерворта, удовлетворяющий требованиям: = 3 дБ; = 12,2 дБ; = 1241 кГц; = 1400 кГц; = 1168,5 кГц; = 1486 кГц.

Для решения поставленной задачи нужно сначала построить фильтр НЧ-прототипа, а затем с помощью преобразования частоты перейти к ПФ.

Пересчитаем требования ПФ (рис. 2.16, в) в требования к НЧ-прототипу (см. рис. 2.16, а). Воспользуемся формулой (2.32): 1734,4 кГц; 159 кГц; 318 кГц. В качестве нормирующей частоты выберем . Тогда нормированные частоты и . Итак, требования к НЧ-прототипу имеют вид: = 3 дБ; = 12,2 дБ; = 159 кГц (); = 318 кГц ().

В Примере 2.1 для такого НЧ-фильтра были получены квадрат АЧХ , рабочее ослабление и передаточная функция .

В Примере 2.3 это фильтр был реализован в виде схемы, изображенной на рис. 2.11 с элементами = 1,41 мГн и 1,41 нФ.

При переходе к требуемому полосовому фильтру необходимо индуктивность продольного плеча фильтра НЧ-прототипа заменить последовательным контуром с элементами = 1,41 мГн и Ф = 6,0 пФ.

Вместо емкости в поперечном плече полосового фильтра будет включен параллельный контур с элементами 1,41 нФ и Гн = 6 мкГн.

Схема искомого полосового фильтра приведена на рис. 2.17.

Рис. 2.17

В активных RC-фильтрах для того, чтобы перейти от передаточной функции ФНЧ-прототипа к передаточным функциям ФВЧ и ПФ, следует осуществить замену комплексной переменной р. Из (2.31) получаем для ФВЧ

или , (2.34)

где и .

Заменяя в (2.34) оператор на оператор р, запишем преобразование переменной р в выражении нормированной по частоте передаточной функции ФНЧ-прототипа:

. (2.35)

Передаточная функция полиномиального звена второго порядка ФНЧ имеет вид:

. (2.36)

Замена переменной (2.35) в этом выражении приводит к передаточной функции полиномиального звена второго порядка ФВЧ

. (2.37)

Для реализации звена с передаточной функцией (2.37) может быть использована схема рис. 2.14, б, в которой следует выбрать проводимости и – активными, т. е. и , а проводимости , и – емкостными, т. е. ; и . Подставляя эти значения проводимостей в выражение (2.28), получаем передаточную функцию

(2.38)

ARC-звена ФВЧ второго порядка, схема которого дана на рис. 2.18. Значения элементов схемы будут найдены, если приравнять коэффициенты из (2.37) и (2.38) при соответствующих степенях р.

Рис. 2.18

Для перехода от НЧ-прототипа к полосовому фильтру воспользуемся (2.33):

или , (2.39)

где ; ; .

Вводя переменную и учитывая, что , находим из (2.39)

. (2.40)

Такая замена переменной в (2.36) приводит к передаточной функции полосового фильтра

Рис. 2.19

, (2.41)

где ; ; ; ; .

Видим, что при переходе к ПФ порядок передаточной функции удваивается. Передаточную функцию (2.41) можно разбить на произведение передаточных функций второго порядка и каждую из них реализовать отдельной ARC-схемой.

Запишем передаточную функцию ПФ второго порядка:

. (2.42)

Подобную передаточную функцию имеет ARC-схема, изображенная на рис. 2.14, б при , , , и , . Действительно, из (2.28) находим

. (2.43)

Элементы схемы фильтра (рис. 2.19) определяются сопоставлением (2.42) и (2.43).

В многоканальных системах передачи разделение каналов по частоте осуществляется с помощью полосовых фильтров. Чтобы сигналы одного канала не попадали в другой, ПФ должны иметь высокую избирательность. Добротность резонансных контуров таких фильтров Q > 20 … . Так, для фильтра с = 62 кГц и полосой пропускания 4 кГц Q > 300, в то же время для фильтра с  = 106 кГц и 4 кГц Q > 1500.

В радиосвязи используются еще более высокие частоты (десятки и сотни мегагерц) и для построения избирательных фильтров нужны резонаторы с добротностью в тысячи и десятки тысяч единиц. Такие значения добротности никогда не обеспечиваются в LC-резонаторах (их добротность не превышает сотен единиц), поэтому в фильтрах применяют высокодобротные механические резонаторы, пьезоэлектрические, магнитострикционные и электромеханические.

В пьезоэлектрических фильтрах роль резонатора выполняет пластинка, вырезанная специальным образом из материала, обладающего пьезоэлектрическим эффектом (например, из кристалла кварца). Пьезоэффект кварцевой пластинки заключается в появлении на ее поверхностях электрических зарядов при механическом воздействии на пластинку. Существует и обратный пьезоэффект – возникновение механических колебаний пьезопластинки при помещении ее в переменное электрическое поле.

Если пьезопластинку поместить между металлическими обкладками и подать на обкладки переменное напряжение, то пластинка начнет совершать механические колебания. На поверхностях пластинки возникнут электрические заряды и во внешней цепи потечет ток. При совпадении частоты переменного напряжения и частоты собственных колебаний пластинки возникает механический резонанс; амплитуда колебаний достигнет максимума и ток во внешней цепи будет максимальным. Таким образом, механический резонанс в кварцевой пластине подобен резонансу напряжений в последовательном колебательном контуре.

Эквивалентная схема пьезоэлектрического (в частности, кварцевого) резонатора (рис. 2.20) помимо эквивалентных индуктивности L и емкости C резонатора содержит емкость кварцедержателя , т. е. обкладок, между которыми помещена кварцевая пластинка.

Пьезоэлектрические фильтры с кварцевыми резонаторами называют кварцевыми. Добротность кварцевых резонаторов достигает 10 … 20 тыс. ед. Кварцевые фильтры могут быть построены по мостовой схеме (рис. 2.21).

Рис. 2.20                                                  Рис. 2.21

Магнитострикционные фильтры строятся на основе резонаторов из ферромагнитного материала, обладающего магнитострикционным эффектом (например, из сплава никеля с кобальтом). Магнитострикционный эффект состоит в том, что стержень из ферромагнетика, помещенный в переменное магнитное поле, изменяет свои геометрические размеры. Обратный эффект – изменение магнитной проницаемости стержня при механическом воздействии на него. Если, например, никель-кобальтовый стержень поместить внутрь катушки индуктивности, создающей переменное магнитное поле, его геометрические размеры начнут меняться. При этом будет меняться и его магнитная проницаемость. В катушке индуктивности наведется ЭДС, направленная против ЭДС генератора и уменьшающая ток во внешней цепи. При механическом резонансе амплитуда колебаний стержня будет максимальной, а ток во внешней цепи – минимальный. Таким образом, механический резонанс магнитострикционного стержня подобен резонансу токов параллельного колебательного контура.

Эквивалентная схема резонатора приведена на рис. 2.22 и включает в себя элементы и эквивалентного резонатору контура, а также индуктивность , учитывающую рассеяние магнитного потока при замыкании его через воздух.

Рис. 2.22

Добротность магнитострикционных резонаторов ниже, чем кварцевых, и составляет 5 … 10 тыс. ед. Магнитострикционные фильтры строятся по мостовой схеме (рис. 2.23).

Рис. 2.23                                                   Рис. 2.24

В электромеханических фильтрах резонаторами являются металлические тела (диски, шарики, стержни, пластинки), соединенные металлическими связками. На рис. 2.24 изображен трехрезонаторный стержневой электромеханический фильтр. Возбуждаются колебания в фильтре с помощью входного магнитострикционного преобразователя (МСП); снимаются колебания с выхода фильтра с помощью выходного МСП. Электромеханические фильтры являются также высокодобротными.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что такое электрический фильтр? Какие типы фильтров существуют?

2. Характеристика рабочего ослабления фильтра изображена на рис. 2.3. Определить тип фильтра.

Ответ: ФНЧ Чебышева 5 порядка.

3. Какой вид имеют функции фильтрации фильтров Баттерворта, Чебы­шева, Золотарева?

4. Привести графики ФНЧ третьего порядка Баттерворта, Чебышева и Золотарева.

5. Рассчитать коэффициент неравномерности ослабления в полосе пропускания и порядок фильтра Баттерворта, удовлетворяющего требованиям: = 2 дБ; = 25 дБ; = 15 кГц; = 26 кГц.

Ответ: e = 0,765; m = 6.

6. Найти выражение для передаточной функции ФНЧ Баттерворта, удовлетворяющего требованиям, приведенным в задаче 5.

Ответ: .

7. Рассчитать порядок и найти операторную передаточную функцию ФНЧ Чебышева, удовлетворяющего требованиям: = 1,25 дБ; = 30 дБ; кГц; кГц.

Ответ: m = 3; .

8. Привести LC-схемы фильтров, имеющих характеристики, изобра­жен­ные на рис. 2.4.

9. Привести LC-схему фильтра, характеристика которого изображена на рис. 2.3.

10. Привести LC-схему фильтра НЧ Золотарева, а также график зависимости его рабочего ослабления от частоты.

11. Каков алгоритм расчета фильтров методом Дарлингтона?

12. Реализовать ФНЧ Баттерворта третьего порядка, имеющего передаточную функцию , в виде пассивной LC-схемы. Внутреннее сопротивление генератора .

Ответ: , , .

13. Какие фильтры называются активными RC-фильтрами?

14. Какие передаточные функции имеют RC-фильтровые звенья первого и второго порядков? Как получить передаточную функцию фильтра более высокого порядка?

15. Реализовать активный RC-фильтр, имеющий передаточную функцию, приведенную в задаче 12.

16. Как осуществить переход от ФНЧ к ФВЧ, ПФ, ЗФ?

17. Доказать, что при переходе от ФНЧ к ЗФ индуктивность фильтра-прототипа преобразуется в параллельный контур в ЗФ, а емкость – в последовательный контур?

18. Привести схемы LC-фильтров, имеющих характеристики, изображенные на рис. 2.16, б, в, г.

19. Рассчитать ФВЧ с максимально плоской характеристикой ослабления, удовлетворяющий требованиям: = 1,5 дБ; = 20 дБ; ; .

20. Как осуществляется переход от схемы НЧ-прототипа к схемам ФВЧ и ПФ в активных RC-фильтрах?

21. Какие высокодобротные механические резонаторы используются для построения фильтров?