Рассмотрим структуру дискретной цепи, подобную рис. 35 и 39, но содержащую N элементов задержки. Она приведена на рис. 40,а и б. Здесь коэффициенты усиления 
, 
, 
, …, 
представляют собой отсчеты дискретной импульсной реакции 
, т.е.
.
Из структуры рис. 40,а следует, что
. (18)
Рис. 40
Переход к z-изображениям (рис. 40, б) дает выражение:
Передаточная функция этой дискретной цепи есть
(19)
Дискретные цепи со структурой рис. 40,а и б и передаточной функцией вида (19) называются нерекурсивными цепями.
Пример 15.1. Найдем выходную последовательность и передаточную функцию нерекурсивной цепи, структурная схема которой приведена на рис. 41.
Рис. 41
Рис. 42
Выходная последовательность 
в соответствии с уравнением (18) имеет вид
Передаточную функцию цепи найдем, используя уравнение (19) или непосредственно по схеме
.
Пример 15.2. Найдем отсчеты выходного сигнала нерекурсивной дискретной цепи, имеющей дискретную импульсную реакцию 
= {1; -0,6; -1,5; 1}, при воздействии не нее дискретного сигнала 
= {1; 0; 1; 0}.
Рис. 43
Отсчеты дискретной импульсной характеристики — это коэффициенты усиления 
; 
; 
; 
. Структурная схема нерекурсивной дискретной цепи с заданной импульсной реакцией приведена на рис. 42.
Выходной дискретный сигнал 
найдем, используя выражение (19)
Отсчеты сигнала 
найдем, подставляя значения 
в полученное разностное уравнение.
;
;
;
.
Аналогичным образом рассчитываем 
; 
; 
. Все остальные отсчеты также равны нулю.
Таким образом, выходная последовательность
= {1; -0,6; -0,5; 0,4; -1,5; 1}. Графики 
и 
приведены на рис. 43.
Иного рода дискретная цепь показана на рис. 44,а и б.
Как следует из (рис. 44,а), выходной сигнал
. (20)
Рис. 44
Формула (20) позволяет вычислить текущий отсчет 
выходного сигнала не только по текущему отсчету 
входного сигнала, но и по предыдущим (задержанным) N отсчетам 
, 
, …, 
выходного сигнала. Подобные формулы, в отличие от (18), где используются текущий и задержанные отсчеты только входного сигнала, в математике получили название рекурсивных. Поэтому и цепь, реализующая алгоритм (20), называется рекурсивной.
Z-преобразование выражения (20) имеет вид:
(21)
Эта же запись следует непосредственно из рис. 44,б.
Передаточную функцию рекурсивной цепи получаем из (21):
(22)
Пример 15.3. Структурная схема рекурсивной дискретной цепи приведена на рис. 45. Найдем передаточную функцию, импульсную характеристику и реакцию цепи на дискретное воздействие 
= {1; -1; 1}.
Передаточную функцию цепи 
найдем, используя формулу (22)
Рис. 45
Для нахождения дискретной импульсной характеристики 
рассчитаем реакцию цепи 
на дискретную d-функцию, т.е. на сигнал 
= 
= {1; 0; 0; …}. С учетом формулы (20) получаем, что дискретная импульсная характеристика цепи (рис. 45) имеет вид
Отсчеты 
равны соответственно 
= 1; 
= 2;
= = 2; 
= 0 и т.д.
Для расчета реакции цепи 
на сигнал 
также воспользуемся разностным уравнением (20):
Найдем отсчеты 
:
;
;
;
;
; 
; 
и т.д.
Если выход дискретной цепи рис. 40,а подключить ко входу цепи, изображенной на рис. 44,а, то полученная цепь будет описываться уравнением
(23)
Для получения передаточной функции 
можно либо выполнить z-преобразование выражения (23), либо перемножить передаточные функции (19) и (22) каскадно включенных структур:
(24)
Рис. 46
Можно изменить порядок каскадного включения нерекурсивной и рекурсивной цепей на обратный. Получится схема, показанная на рис. 46,а. Передаточная функция этой новой структуры, естественно, будет по-прежнему описываться выражением (24), а временной алгоритм — формулой (23). Заметим, что на выходах параллельных элементов задержки будут одни и те же сигналы. Следовательно, реально необходимо иметь лишь один из двух элементов задержки. Соответствующая эквивалентная дискретная цепь изображена на рис. 46, б; она называется канонической, потому что в ней используется минимально возможное число элементов задержки. Так как схема рис. 46,б содержит и рекурсивную часть, в литературе ее часто также называют рекурсивной дискретной цепью.
Пример 15.4. Определим передаточную функцию цепи, приведенной на рис. 47.
Для рекурсивной цепи с прямыми и обратными связями (рис. 47) запишем коэффициенты усиления усилителей:
Рис. 47
Рис. 48
= 1; 
= 1,5; 
= -2; 
= 0,5;
= -1; 
= 1; 
= -1,5.
Определим передаточную функцию цепи (рис. 47), подставляя значения коэффициентов усиления в выражение (24),
Пример 15.5. Найдем реакцию дискретной цепи на воздействие 
= {1; -1; 1; -1}, если передаточная функция цепи имеет вид 
.
Составим структурную схему дискретной цепи с заданной передаточной функцией (рис. 48). Коэффициенты усиления известны: 
= 1; 
= -1; 
= 1; 
= 0,5; 
= -0,5.
Найдем выходной сигнал 
цепи, используя уравнение (23) или непосредственно по схеме:
Рассчитаем отсчеты 
:
;
;
Аналогичным образом рассчитываем 
, 
и т.д.
Самоконтроль
1. Какие дискретные цепи называются нерекурсивными?
2. Какие дискретные цепи называются рекурсивными?
3. Как рассчитываются передаточные функции нерекурсивных и рекурсивных дискретных цепей?
4. Как рассчитывается выходной сигнал дискретной цепи?
5. Составьте схемы дискретных цепей, имеющих передаточные функции
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
6. Запишите разностные уравнения для цепей, имеющих передаточные функции, приведенные в 5, а; 5, б и 5, в.