Так же как и для преобразований Лапласа и Фурье, существуют теоремы для z-преобразования. Приведем наиболее важные теоремы одностороннего z-преобразования.
Теорема линейности (суперпозиции)
Сумме дискретных сигналов соответствует сумма их z-изображений. Если дискретным сигналам 
и 
соответствуют z-изображения 
и 
, то
,
где a и b — некоторые числа.
Доказательство теоремы выполните самостоятельно, используя выражение (13) для расчета z-изображения дискретного сигнала.
Теорема опережающего сдвига
Если дискретному сигналу 
соответствует одностороннее z-преобразование 
, то сигналу, сдвинутому на один интервал дискретизации, 
соответствует z-преобразование 
.
Математическая запись теоремы имеет вид
,
Чтобы доказать теорему, воспользуемся основным выражением (13) для расчета z-преобразования дискретных сигналов 
и 
, а также графиками, приведенными на рис. 23.
;
.
Сравнивая 
и 
, получаем 
, что и требовалось доказать.
Очевидно, что теорема опережающего сдвига выполняет ту же самую роль, что и теорема дифференцирования для преобразований Лапласа.
Теорема задержки
Математическая запись теоремы имеет вид
.
Рис. 23
В теореме задержки 
— это дискретные отсчеты функции единичного скачка (рис. 24)
а 
— это дискретные отсчет функции 
, задержанной на N интервалов дискретизации (рис. 25).
Доказательство вытекает из основного выражения (13) для z-преобразования.
Рис. 24
Рис. 25
При доказательстве учтено, что единичная ступенчатая функция обращается в нуль при отрицательных значениях ее аргумента, т.е. при n < N.
Теорема умножения на an
Математическая запись теоремы имеет вид
.
Теорема умножения на n
.
Теоремы умножения дискретного сигнала 
на 
и на n можно также доказать, используя формулу (13). Предлагаем проделать это самостоятельно.
Теорема свертки
Свертке дискретных сигналов 
и 
соответствует произведение их z-преобразований
.
Эту теорему мы приводим здесь без доказательства. При необходимости с ним можно познакомиться в [6].
Пример 11.1. Найдем z-преобразование функции единичного отсчета, задержанной на N интервалов дискретизации.
Найдем z-преобразование дискретного d-импульса 
(рис. 3), используя выражение (13)
.
Рис. 26
Рис. 27
Используя теорему задержки, найдем z-изображение сигнала 
.
На рисунке 3 приведен также график задержанной функции единичного отсчета для частного случая N = 2.
Пример 11.2. Найдем z-преобразование функции
.
В примере 9.4 мы уже находили, что z-преобразование сигнала 
имеет вид (15) 
.
Используя теорему задержки, получаем
.
При a = 1 имеем:
.
Графики дискретных сигналов 
и 
приведены на рис. 25 и 26.
Пример 11.3. Найдем z-преобразование дискретной последовательности 
.
Поскольку z-изображение последовательности 
известно (15), то, используя теорему умножения на n, получим
.
Пример 11.4. Найдем z—преобразование дискретной последовательности из N отсчетов единичной амплитуды (рис. 27)
Сигнал 
можно представить как разность двух сигналов
.
Из теорем линейности и задержки легко получить z-преобразование
,
что совпадает с формулой для частичной суммы геометрической прогрессии
.
Пример 11.5. Вычислим z-преобразование свертки дискретных сигналов 
={1; 1; 1; 0; 0; 0; …} и = {0; 0; 1; 1; 0; 0; …}.
Найдем z-преобразование сигнала 
, используя формулу (13)
.
Найдем z-преобразование сигнала 
.
Вычислим z-преобразование свертки сигналов 
и 
, используя теорему свертки
Табл. 1 — Краткая таблица односторонних z-преобразований
z-преобразование 
В табл. 1 дана сводка z-преобразований наиболее часто встречающихся дискретных последовательностей. Эти табличные сведения также могут быть использованы для расчета z-преобразований сигналов и перехода от z-преобразований к дискретным сигналам.
Пример 11.6. Найдем общий член дискретного сигнала 
, которому соответствует z-изображение
.
Разложение функции 
на простые дроби приводит к выражению
.
Используя теорему линейности и находя в таблице 1 дискретные сигналы, соответствующие каждому из слагаемых в выражении 
, получаем
По этой формуле легко подсчитать значение 
для любого n. Аналогичным образом, разложение
приводит к последовательности
Самоконтроль
1. Докажите теорему линейности.
2. В чем суть теорем опережающего сдвига и задержки?
3. Сформулируйте теоремы умножения на 
и на n?
4. Как найти z-преобразование свертки дискретных сигналов?
5. Как можно использовать таблицу односторонних z-преобразований?