Вопрос 1. Что такое дискретный сигнал?
Вопрос 2. Как часто следует брать отсчеты непрерывного сигнала?
Вопрос 3. Зачем переходить от непрерывного сигнала к дискретному?
Вопрос 4. В чем различие спектров непрерывного и дискретного сигналов?
Вопрос 5. Почему происходят наложения сигналов и спектров?
Вопрос 6. Как восстанавливают непрерывный сигнал из дискретного?
Вопрос 7. О чем гласит теорема В.А. Котельникова?
Вопрос 8. Зачем используют дискретное преобразование Фурье?
Вопрос 9. Что такое z-преобразование дискретного сигнала?
Вопрос 10. Как найти дискретный сигнал по его z-преобразованию?
Вопрос 11. Какими свойствами обладает z-преобразование?
Вопрос 12. Что такое дискретные цепи и чем они отличаются от аналоговых цепей?
Вопрос 13. Что такое цифровые цепи и чем они отличаются от дискретных цепей?
Вопрос 14. Как определять передаточную функцию дискретной цепи?
Вопрос 15. Что такое нерекурсивные и рекурсивные дискретные цепи?
Вопрос 16. Где располагаются полюсы передаточной функции устойчивой дискретной цепи?
Вопрос 17. Как построить амплитудно-частотную характеристику дискретной цепи?
Вопрос 18. Существуют ли типовые звенья дискретных цепей?
Вопрос 19. Как соединяются между собой типовые звенья?
Вопрос 20. Может ли дискретная цепь осуществлять фильтрацию сигнала?
Вопрос 22. Как рассчитать аналоговый фильтр-прототип?
Вопрос 23. Как осуществить переход к дискретному фильтру?
Вопрос 24. Как реализовать фильтр с конечной импульсной характеристикой?
Вопрос 25. Как рассчитываются дискретные фильтры верхних частот, полосовые и режекторные?
Вопрос 26. В чем состоят особенности расчета цифровых фильтров?
Введение
Этот материал является базовым для понимания процессов цифровой фильтрации и обработки сигналов во многих современных информационных системах.
По своей природе многие сигналы являются непрерывными. Это объясняется тем, что источники сообщений выдают информацию непрерывно, в любые моменты времени. К таким источникам относятся, например, микрофоны телефонных аппаратов, считывающие устройства факсимильных аппаратов, передающие телевизионные камеры.
Дискретные сигналы естественно возникают в тех случаях, когда источник сообщений выдает информацию в фиксированные моменты времени. Например, устройство измерения температуры, связанное с городским световым табло, посылает сигнал на это табло в определенные промежутки времени. В других промежутках на табло высвечиваются давление, время или другие параметры. Здесь ярко проявляется характер дискретного сигнала: в паузах нет никаких сведений об изменении температуры. Таким образом, мы имеем дело не с непрерывным изменением температуры, а лишь с ее значениями, отсчитанными через определенные промежутки времени. Подобный процесс называется дискретизацией непрерывного сигнала.
Свойство дискретного сигнала — существовать лишь в определенные промежутки времени — позволяет организовать передачу по одной и той же линии (радиоканалу, паре проводов, оптическому волокну) сообщений от нескольких различных источников. Примером этого служит упомянутая выше передача на городское световое табло сведений от датчиков температуры, давления и т.п. Говорят, что при этом происходит разделение каналов во времени.
Особой разновидностью дискретных сигналов являются цифровые сигналы. Цифровой сигнал — это последовательность импульсов. Если принять условно факт наличия импульса за 1, а факт его отсутствия за 0, то импульсную последовательность можно представить как чередование двух цифр: 0 и 1.
Число, которое принимает только значение 0 и 1 называется «двоичной цифрой». Отсюда и появилось название «цифровой сигнал».
Очевидно, что любое значение дискретного сигнала легко перевести в двоичное число. Поэтому цифровой сигнал можно рассматривать как закодированный двоичным кодом дискретный сигнал.
В последнее время системы с цифровыми сигналами активно вторгаются в нашу жизнь. Во всем мире сейчас пользуются цифровыми телефонами; в наши дома приходит цифровое телевидение; на прилавках магазинов мы видим аппаратуру цифровой звуко- и видеозаписи.
Цифровые сигналы в телефонии, телевидении, звуко- и видеозаписи ничем не отличаются от цифровых сигналов в компьютерных сетях. Появляется возможность применять для обработки текста, звука, изображения быстродействующие компьютерные системы. Для передачи телекоммуникационных сигналов теперь могут использоваться компьютерные сети, а для передачи компьютерных сигналов — обычная телефонная сеть.
Вопрос 1. Что такое дискретный сигнал?
Сигнал – это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией.
Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Аналоговые сигналы описываются непрерывной во времени функцией 
, которая может принимать любые значения в определенном интервале; дискретные сигналы 
представляют собой последовательности или отсчеты функции 
, взятые в определенные дискретные моменты времени nT; цифровыми являются сигналы, которые в дискретные моменты времени nT принимают конечные дискретные значения – уровни квантования, которые затем кодируются двоичными числами.
Если в цепь микрофона (рис. 1), где ток 
является непрерывной функцией времени, встроить ключ и периодически на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерывного сигнала. Последовательность этих импульсов, которые называют отсчетами непрерывного сигнала, и представляет собой, не что иное, как дискретный сигнал.
Рис. 1
В отличие от непрерывного сигнала 
дискретный сигнал можно обозначить 
. Однако, чаще его обозначают 
, заменяя непрерывное время t дискретными моментами nT, следующими строго через интервал T. Используются и более краткие обозначения: 
и 
. Причем, во всех этих записях n – целое число, принимающее как положительные, так и отрицательные значения. Так, на рис. 1 при n < 0 дискретный сигнал 
. При n = 0 значение 
равно значению сигнала 
в момент времени t = 0. При n > 0 отсчеты 
повторяют форму сигнала 
, т.к. их амплитуды равны значениям непрерывного сигнала в моменты времени nT.
Рис. 2
Дискретные сигналы можно задавать графиками, как это показано на рис. 1, формулами, например, 
, в виде таблиц дискретных значений или в виде комбинации этих способов. Рассмотрим примеры некоторых дискретных сигналов, полученных из типовых аналоговых сигналов.
Пример 1.1. Единичный ступенчатый аналоговый сигнал 
приведен на рис. 2.
Соответствующий ему дискретный сигнал 
называется ступенчатой последовательностью. Он определяется следующим образом:
Рис. 3
Такая последовательность приведена на рис. 2.
Пример 1.2. Импульс Дирака или d-функция в аналоговой области приведена на рис. 3.
Рис. 4
Дельта-последовательность или дискретная d-функция определяется выражением
Последовательность 
, приведенная на рис. 3, принимает единственное значение, равное 1, при n = 0. Этот сигнал можно сдвинуть на k интервалов:
Тогда математическая запись любого дискретного сигнала имеет вид
где 
– отсчеты исходного аналогового сигнала.
Этот сигнал можно получить из аналогового (рис. 4) периодическим замыканием ключа на очень короткое время в моменты t = k.
Самоконтроль
1. Что представляют собой аналоговые, дискретные и цифровые сигналы?
2. Как практически получить дискретный сигнал из аналогового?
3. Что такое ступенчатая последовательность и дельта-последовательность?
4. Изобразите графики дискретных d-функций 
и 
.
Вопрос 2. Как часто следует брать отсчеты непрерывного сигнала?
Интервал времени T, через который отсчитываются значения непрерывного сигнала 
, называется интервалом дискретизации. Обратная величина 1/T (обозначим ее 
) называется частотой взятия отсчетов или частотой дискретизации.
Рис. 5
Отсчеты непрерывного сигнала следует брать с такой частотой (или через такой интервал времени), чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые, изменения сигнала. Иначе, при восстановлении этого сигнала по дискретным отсчетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от формы исходного (рис. 5). Если обратиться к схеме рис. 1, то это означает, что звук на приеме будет восприниматься с искажениями.
Для сигналов с ограниченным спектром, т.е. для тех сигналов, у которых спектральная плотность локализована в определенной полосе частот, существуют более конкретные рекомендации по выбору интервала дискретизации Т (или, что то же, частоты дискретизации 
). Эти рекомендации будут даны позже.
Самоконтроль
1. Что такое интервал дискретизации и частота дискретизации?
2. Почему нельзя произвольно выбирать интервал дискретизации?
3. Уменьшите в два раза интервал дискретизации T исходного аналогового сигнала (рис. 5) и, восстановив сигнал по его дискретным отсчетам, сравните с тем, что приведен на рисунке.
Вопрос 3. Зачем переходить от непрерывного сигнала к дискретному?
Получение, передача и обработка непрерывных сигналов (например, речевые сигналы в телефонии и радиовещании, телевизионные сигналы) может осуществляться в аналоговой форме.
На рис. 6 показана RC-цепь, у которой импульсная характеристика, как известно, равна
.
Если задано напряжение на входе цепи 
и нужно найти напряжение на ее выходе 
, мы можем сделать это, воспользовавшись интегралом свертки:
. (1)
Это известный материал и мы лишь напомним его.
Рис. 6
При передаче аналоговых сигналов необходимо учитывать влияние помех и нестабильность параметров цепи, т.е. их зависимость от времени, температуры, влажности и т.д. Особенно сильно это влияние сказывается на очень низких частотах (меньше 1 Гц) и на частотах выше 20 кГц. В диапазоне сигналов звуковых частот характеристики аналоговых и дискретных цепей и сигналов сопоставимы, и выбор типа сигнала определяется прогрессом в технологии изготовления и применения современных средств микроэлектроники, а они, в свою очередь, ориентированы на цифровые устройства.
Заменим непрерывные сигналы в схеме рис. 6 и формуле (1) их дискретными отсчетами. Чтобы не вносить путаницы, время t заменим дискретными значениями nT, а время t – дискретными значениями mT. Тогда интеграл придется заменить суммой и выражение (1) запишется в виде:
. (2)
Вместо непрерывного сигнала 
мы будем иметь дело с дискретным сигналом 
и вместо непрерывной импульсной характеристики 
– с дискретной импульсной характеристикой
.
Поскольку любой отсчет сигнала – это число, то формулу (2) можно запрограммировать на ЭВМ. Останется лишь ввести в ЭВМ числа, соответствующие всем дискретным отсчетам 
и 
, и она вычислит отсчеты выходного напряжения 
. Выражение (2) на языке вычислительной техники называется алгоритмом вычисления выходного сигнала.
Пример 1.3. Рассчитаем отсчеты выходного напряжения
в цепи, приведенной на рис. 6.
Для расчета воспользуемся формулой (2), подставляя в нее соответствующие дискретные отсчеты входного сигнала 
и дискретные отсчеты импульсной характеристики 
, графики которых приведены на рис. 6.
;
;
Рис. 7
Аналогичным образом рассчитываются 
= 68; 
= 80,5; 
= 91; 
= 100,3; 
= 108,6; 
= 83,4; 
= 59 и т.д.
График последовательности 
приведен на рис. 7.
Таким образом, дискретные сигналы удобны тем, что их можно обрабатывать с помощью ЭВМ. Однако, не следует думать, что дискретные сигналы вносятся в ЭВМ лишь с клавиатуры. Их можно вводить в ЭВМ и выводить из нее непосредственно.
На рис. 8 показано, как это делать. Непрерывный сигнал 
подается на ключ, на выходе которого образуются дискретные отсчеты 
. Но их еще нельзя ввести в машину. Сначала нужно перевести амплитуды отсчетов в двоичный код – ведь только такой код понимает ЭВМ. Выполняет эту операцию кодер. Скажем, если отсчет имеет величину 30 В, то запись числа 30 в двоичном 8-разрядном коде будет такой: 00011110. Закодированные в двоичном коде отсчеты на рисунке обозначены 
.
Вычислительные средства (ВС) могут представлять собой универсальную большую ЭВМ, специализированную микро-ЭВМ, микропроцессорное устройство или что-нибудь в этом роде. Главное состоит в том, что в памяти ЭВМ записана программа вычисления, например, выражение (2), и отсчеты импульсной реакции, скажем, RC-цепи. Следовательно, в результате работы программы, ЭВМ будет выдавать закодированные в двоичном коде отсчеты 
. Декодер преобразует код в амплитуду, и на его выходе появляются дискретные отсчеты выходного напряжения 
. Интерполятор (Инт) восстанавливает функцию между отсчетами. В итоге на выходе системы мы имеем аналоговый сигнал 
.
Рис. 8
Устройство, состоящее из ключа и кодера и преобразующее непрерывный (аналоговый) сигнал в двоичный код (или, что то же,в цифровой сигнал), называют аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Обратное преобразование выполняет цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), содержащий декодер и интерполятор.
Как видим, ЭВМ может сыграть роль реальной цепи. И хотя самой физической цепи может и не быть в наличии, а задана она будет лишь в виде отсчетов импульсной реакции и программы вычислений, мы будем наблюдать на выходе описанной системы такое же выходное напряжение 
, как и на выходе реальной цепи.
Самоконтроль
1. Почему удобно передавать и обрабатывать дискретные сигналы?
2. Рассчитайте первые два отсчета напряжения на выходе дискретной цепи, имеющей импульсную характеристику
если напряжение на ее входе 
3. Поясните по графикам, как работает цепь, изображенная на рис. 8.
Вопрос 4. В чем различие спектров непрерывного и дискретного сигналов?
Комплексная спектральная плотность 
непрерывного сигнала 
(в дальнейшем для краткости будем говорить: спектр сигнала) вычисляется по формуле прямого преобразования Фурье
. (3)
Сигнал 
может быть восстановлен по спектру 
с помощью обратного преобразования Фурье, или интеграла Фурье
. (4)
В соответствии с принципом неопределенности сигнал, имеющий ограниченную протяженность во времени, обладает неограниченным по полосе спектром (рис. 9, а). И наоборот, сигнал с ограниченным спектром имеет бесконечную протяженность во времени (рис. 10, а). Как следует из этих рисунков, непрерывный сигнал, и ограниченной и бесконечной протяженности во времени, имеет сплошной спектр.
Если сигнал 
является периодическим, то спектр его – дискретный, т.е. теперь вместо 
используют отсчеты 
. Эта ситуация показана на рис. 9, б. Период сигнала равен длительности сигнала 
. Интервал дискретизации спектра по частоте F определяется, как известно, периодом сигнала, в данном случае 
. Формулы для прямого и обратного преобразований Фурье получаются из (3) и (4) путем замены непрерывной частоты f на дискретные значения nF. При этом следует учесть известную связь между амплитудами гармоник 
периодического сигнала и отсчетами 
спектральной плотности 
непрерывного сигнала:
Рис. 9
Рис. 10
.
Спектр 
периодического сигнала вычисляется по формуле
. (5)
Сигнал 
можно восстановить по его дискретному спектру, воспользовавшись формулой
. (6)
В соответствии с принципом дуальности можно сказать: если периодическим является спектр, то дискретным будет сигнал (рис. 10, б). Обозначая период повторения спектра 
, получим интервал дискретизации сигнала 
.
Формулы прямого и обратного преобразований Фурье для дискретных сигналов имеют вид
; (7)
. (8)
В формулах (7) и (8) использовано обозначение 
.
Пример 4.1. Рассчитаем спектр дискретного сигнала, состоящего из одного отсчета 
.
Воспользуемся формулой (7), в которую подставим значения 
заданного сигнала
.
Пример 4.2. Рассчитаем спектр экспоненциальной дискретной функции 
, n³ 0.
График дискретной функции 
приведен на рис. 11, а ее отсчеты можно записать в виде последовательности 
{1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; …}.
Рис. 11
Рис. 12
Спектр дискретной экспоненты рассчитаем по формуле (7)
где для суммирования ряда использована формула
.
Получим выражение для расчета спектра амплитуд 
, используя формулу Эйлера 
.
.
Для построения графика будем задавать значения f от 0 до 1/Т с шагом 0,1/T и рассчитывать 
.
График спектра амплитуд 
экспоненциальной дискретной функции 
приведен на рисунке 12.
Как видно из графика, спектр дискретного сигнала сплошной и периодический с периодом 
.
Самоконтроль
1. Как рассчитывается спектр непериодического (и периодического) непрерывного сигнала?
2. Как восстановить непрерывный сигнал по его спектру (сплошному и дискретному)?
3. Сформулируйте принцип неопределенности.
4. Как рассчитывается спектр дискретного сигнала?
5. Какой спектр у дискретного сигнала: сплошной или дискретный, периодический или непериодический?
6. Как рассчитывается дискретный сигнал, если известен его спектр?
7. Найдите спектр дискретного сигнала, состоящего из одного отсчета 
.
8. Найдите значения спектра дискретного сигнала, заданного двумя отсчетами 
, на частотах 
и 
.
Вопрос 5. Почему происходят наложения сигналов и спектров?
Рис. 13
Рис. 14
Обратимся вновь к рис. 9. В случае, когда дискретизации подвергается спектр (рис. 9, б), это приводит к периодическому повторению сигнала. На рис. 9, б и 13, а, б показаны случаи выбора разных интервалов дискретизации спектров. При слишком редкой дискретизации и происходит наложение сигналов из разных периодов друг на друга (рис. 13, б). При этом форма периодической последовательности будет отличаться от формы одиночного сигнала.
Рис. 15
Если дискретизации подвергается сигнал (рис. 14, а, б и 15 а, б), то периодически повторяется спектр сигнала. При неудачном выборе интервала дискретизации будет иметь место наложение друг на друга спектров из разных периодов повторения, т.е. искажение формы спектра (рис. 14, б и 15, б).
Вывод: все наложения (сигналов или спектров) происходят из-за неудачного – слишком редкого – интервала дискретизации (соответственно, спектра или сигнала). Это приводит к появлению ошибок наложения, или, другими словами, искажений формы сигнала (либо спектра) на каждом периоде.
Самоконтроль
1. Почему нельзя выбирать большой интервал дискретизации сигнала (или спектра)?
2. Каким должно быть соотношение между интервалом дискретизации спектра по частоте F и периодом повторения 
сигнала, чтобы не было наложения сигналов?
3. Постройте спектр 
сигнала, приведенного на рис. 15, если 
. Будет ли в этом случае наложение спектров?
Вопрос 6. Как восстанавливают непрерывный сигнал из дискретного?
На рис. 8 устройство, восстанавливающее непрерывный сигнал из дискретного, было названо интерполятором. Оно по известным (отсчетным) значениям непрерывной функции вычисляет все промежуточные значения. В математике подобная операция называется интерполяцией.
Можно взглянуть на эту проблему и с другой стороны. Спектр дискретного сигнала содержит (в самом первом периоде) спектр исходного, недискретизированного сигнала (рис. 10, б, 14, а и 15, а). Пропустим дискретный сигнал 
через фильтр нижних частот с граничной частотой полосы пропускания 
. Такой фильтр подавит все «боковые» спектры и не внесет никаких изменений в «основной» спектр. Значит, на его выходе появится непрерывный сигнал 
. Таким образом, фильтр нижних частот с частотой среза 
может играть роль интерполятора.
Самоконтроль
1. Каким образом фильтр нижних частот выполняет операцию интерполяции?
2. Можно ли точно восстановить непрерывные сигналы из дискретных сигналов 
, приведенных на рис. 14, а и 15, б?
Вопрос 7. О чем гласит теорема В.А. Котельникова?
В 1933 году в работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи» В.А. Котельников доказал теорему, ставшую основополагающей в теории и технике цифровой связи. Она гласит: если непрерывный сигнал 
имеет спектр, ограниченный частотой 
, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени 
, т.е. с частотой 
.
Мы не приводим полную математическую формулировку теоремы, а также ее доказательство, а лишь ограничиваемся указанием сути теоремы. Однако, справедливость ее легко усматривается из рис. 10, б и 15, а. Частота дискретизации непрерывного сигнала не должна быть меньше удвоенной ширины спектра: 
иначе произойдет наложение спектров (рис. 15, б) и будет невозможно с помощью фильтра нижних частот выделить спектр исходного непрерывного сигнала.
Рис. 16
Пример 7.1. Рассчитаем интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше 100 кГц.
Из условия задачи следует, что граничная частота спектра 
равна 100 кГц. Тогда в соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дискретизации
.
Минимально допустимая частота дискретизации 
= 2 ×× 100 = 200 кГц.
Пример 7.2. Определим дискретные отсчеты сигнала длительностью 
= 3 мс, приведенного на рис. 16, а, если в качестве граничной частоты спектра 
принять значение 
, выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.
Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, однако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким образом, чтобы отсекание частот превышающих 
, привело к пренебрежимо малым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере.
Граничная частота спектра 
.
Интервал дискретизации 
.
Берем отсчеты сигнала, приведенного на рис. 16, а, через интервал времени T = 0,5 мс и получаем последовательность
= {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0}, изображенную графически на рис. 16, б.
Самоконтроль
1. Как нужно выбирать интервал дискретизации сигнала, чтобы можно было однозначно восстановить непрерывный сигнал по его дискретным отсчетам?
2. Как выбирается минимальная частота дискретизации?
3. Найдите частоту дискретизации и интервал дискретизации сигнала, имеющего спектр, ограниченный частотой 
= 10 кГц.
4. Уменьшите в 2 раза интервал дискретизации по сравнению с тем значением, которое получили в п. 3. Можно ли при этом однозначно восстановить непрерывный сигнал? Как изменится спектр сигнала?
Вопрос 8. Зачем используют дискретное преобразование Фурье?
Мы уже отмечали, что развитие вычислительной техники привело к появлению цифровых систем обработки сигналов. При этом как сигнал, так и его спектр необходимо перед вводом в вычислительное устройство представлять в виде отсчетов, т.е. в виде чисел.
В формулах (5) и (6), или (7) и (8), один из компонентов уже является дискретным. Остается только заменить в этих формулах оставшуюся непрерывную переменную (t или f) дискретными значениями.
Так, например, если в формулах (5) и (6) время t заменим на nT, то получим формулы (9) и (10)
, (9)
. (10)
Следует заметить, что при этом периодический сигнал 
стал дискретным сигналом 
, или 
, а значит дискретный спектр 
начал периодически повторяться (рис. 17). Суммирование дискретных составляющих спектра 
в формуле (6) следует теперь вести не в бесконечных пределах, а на периоде, где укладывается N отсчетов. Значит индекс суммирования m в формуле (10) будет изменяться от m = 0 до m = N – 1.
Рис.17
На периоде повторения 
дискретного сигнала 
также укладывается N отсчетов, включая нулевой отсчет. Интеграл в (5) заменяется суммой с индексом суммирования n, изменяющимся от n = 0 до n = N – 1. Переменная dt в этой формуле при переходе от интеграла к сумме заменяется на T, так что отношение 
, т.к. 
. Частота дискретизации равна 
. Отсюда вытекают соотношения:
и 
. (11)
Произведение FT можно заменить величиной 1/N.
Выражения (9) и (10) называются прямым и обратным дискретным преобразованием Фурье.
Вывод: Формулы дискретного преобразования Фурье (ДПФ) удобны для расчетов на ЭВМ.
Пример 8.1. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного тремя отсчетами 
= {0; 1; 2}.
Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (9).
.
Поскольку
, 
,
то 
,
.
Графики заданного дискретного периодического сигнала 
и рассчитанного дискретного периодического спектра амплитуд 
приведены на рис. 18.
Пример 8.2. Рассчитаем значения дискретного сигнала 
, ДПФ которого имеет вид 
= {0; 1; 0; 1}.
Значения дискретного сигнала 
будем рассчитывать по формуле (10)
;
Рис. 19
Рис. 18
График последовательности 
= {2; 0; –2; 0} приведен на рис. 19. Сигнал 
дискретный и периодический.
Самоконтроль
1. Как рассчитать спектр дискретного периодического сигнала?
2. Как рассчитать дискретный периодический сигнал по его спектру?
3. Найдите ДПФ сигнала, заданного двумя отсчетами 
= {1; –1}.
4. Рассчитайте значения 
и 
дискретного сигнала, ДПФ которого имеет вид 
= {1; –1}.