6.7. Метод переменных состояния

В настоящее время для анализа переходных процессов в цепях широкое применение находит метод переменных состояния, позволяющий при расчетах эффективно использовать ЭВМ. Суть метода заключается в том, что переходный процесс в цепи рассматривается как траектория в m-мерном пространстве (где т — порядок цепи) с начальной точкой при t = 0 (начальное состояние) и конечной при t = . Например, переходный процесс в последовательном RLC-контуре (см. 6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка, апериодический разряд и рис. 6.12) можно в пространстве состояний представить кривой, изображенной на рис. 6.19, где i_L(0) = 0 и u_C(0) = U характеризуют начальное состояние цепи, а i_L(t) и u_C(t) определяют состояние цепи в любой заданный момент времени. Достоинства этого метода — наглядность, простота, удобство программирования на ЭВМ, возможность анализа как линейных, так и нелинейных цепей, а также цепей с переменными параметрами.

Поясним сущность данного метода на примере цепи, находящейся при ненулевых начальных условиях: i_L(0) = i₀, u_C(0) = u₀ (рис. 6.20). Для этой цепи при t 0 можно записать: или (6.92)

Уравнения (6.92) называются уравнениями состояния цепи, а i_L и u_C — переменными состояния. Начальные условия i_L(0) = i₀ и u_C(0) = u₀ определяют с помощью (6.92) состояния цепи в любой момент t 0. Величины i_L и u_C можно считать компонентами вектора состояния х:

Тогда (6.92) можно переписать в матричной форме: (6.93) где

В случае, если цепь находится после коммутации под воздействием источников, уравнение состояния принимает вид (6.94) где w(t) — вектор воздействий источников; В — матрица параметров цепи.

Например, для случая включения RLC-контура на постоянное напряжение уравнение состояния имеет вид (6.94), где

Зная состояние цепи х(t), реакцию цепи y(t) (токи и напряжения в любой ветви) можно найти как линейную комбинацию векторов состояния х(t) и входных воздействий w(t): (6.95) где у(t) — вектор искомых реакций цепи; С, D — матрицы, зависящие только от параметров цепи. Уравнение (6.95) называют уравнением реакции цепи.

Так, если в качестве компонентов вектора у(t) в предыдущем примере RLC-контура взять u_R и u_L, то искомые реакции цепи (u_R и u_L) определяются согласно системе уравнений: которую можно переписать в форме (6.95), где

Следует подчеркнуть, что уравнения (6.93)—(6.95) справедливы для линейных цепей с постоянными параметрами (матрицы А, В, С, D не зависят от t). Для цепей с переменными параметрами (параметрические цепи) матрицы А(t), B(t), C(t), D(t) являются функциями времени.

Уравнения (6.94), (6.95) — основные в методе переменных состояний. Для решения уравнений состояния могут использоваться как аналитические, так и численные методы. Аналитически уравнение (6.94) может быть решено в области как действительного переменного t, так и комплексного переменного р. Рассмотрим некоторые основные методы решения уравнения состояния.

Метод матричных экспонент

Решение этим методом ищут в форме (6.96) где е ^At — матричная экспонента (матрица перехода). Из (6.96) следует, что решение уравнения состояния содержит два слагаемых: первое — реакция цепи при нулевом входном сигнале; второе — реакция цепи при нулевом начальном состоянии.

Для вычисления е ^At обычно используют разложение (6.97)

Пример. Найдем матрицу перехода для схемы, изображенной на рис. 6.21.

Матрицы А и В для данной схемы имеют следующий вид:

Примем L = 0,55 Гн, С = 0,5 Ф, R₁ = 1 Ом, R₂ = 3,5 Ом, е(t) = 1 В, i_L = 0, u_C = 1 В. Тогда

Согласно (6.97) матрица перехода примет вид

Таким образом, матрица перехода представляет собой квадратную матрицу порядка п с элементами в форме рядов от t. Подставив значение е ^At в уравнение (6.96), можно определить после интегрирования искомое решение x(t).

Следует, однако, отметить, что ряд (6.97) сходится медленно и использование уравнения (6.96) требует большого объема вычислений, поэтому вместо (6.96) обычно используют итерационную процедуру для дискретных моментов времени t_n = nt = nh, где h = t достаточно малый шаг: (6.98)

Интеграл в (6.98) вычисляется численными методами (методом прямоугольников, трапеций, Симпсона и др.). Так, при использовании метода прямоугольников алгоритм (6.98) приобретает вид (6.99)

При нулевом входном сигнале w = 0 (свободные колебания) (6.100)

Если ограничиться в разложении (6.97) только первыми двумя членами e ^Ah I + Ah, то получим (6.101)

Алгоритм (6.101) легко программируется на ЭВМ и имеет ясный физический смысл. Он определяет положение точки в пространстве состояний на (n + 1)-м шаге, исходя из ее состояния на n-м шаге при аппроксимации траектории на участке h прямолинейным отрезком с постоянной скоростью (h).

Пример. Рассчитать траекторию состояний, изображенную на рис. 6.19, используя аппроксимацию ее на каждом из m участков величины h в форме прямолинейных отрезков. Скорость изменения состояния (h) на каждом из выделенных участков остается постоянной.

На основании уравнения состояния (6.93) имеем: для момента t = 0; (0) = Ах(0); для момента t = h для момента t = 2h для момента t = (n + 1)h т. е. полученное уравнение полностью совпадает с (6.101).

Метод Рунге—Кутта — метод численного решения уравнения состояния (6.94), при котором интервал 0…t разбивается на » т » малых участков t = h, на каждом из которых значение переменной х определяется с помощью линейной комбинации некоторых вспомогательных функций k_i (h) с постоянными коэффициентами. В зависимости от способа выбора коэффициентов и требуемой точности решения существуют различные модификации алгоритмов Рунге — Кутта.

Проиллюстрируем суть метода Рунге—Кутта на примере скалярного уравнения состояния (6.102)

Наиболее распространенный алгоритм Рунге—Кутта имеет вид (6.103)

При этом порядок погрешности составляет h ⁵.

Пример. Решить скалярное уравнение состояния (6.102) на интервале [0; t ] методом Рунге—Кутта при условии A = 1; х(0) = 1.

Разобьем интервал [0; t ] на 10 участков с шагом h = 0,1. Тогда в соответствии с алгоритмами (6.103) можем получить для t = 0, х(0) = 1 (первый шаг):

Аналогично на втором шаге

Как следует из (6.103), для определения х необходимо вычислить f (t, x) в четырех точках.

Аналогично записывается алгоритм Рунге—Кутта для системы уравнений типа (6.102). Например, для случая системы из двух уравнений алгоритм (6.103) примет вид (6.104) где

Частным случаем метода Рунге—Кутта является прямой алгоритм Эйлера (при k₂ = k₃ = k₄ = 0). Однако он имеет малую точность и не нашел широкого применения.

Разностные методы

Существенным недостатком метода Рунге—Кутта является то, что для получения каждого значения решения х необходимо вычислять правую часть уравнения (6.94) в нескольких точках (для алгоритма (6.103) — в четырех точках). Это приводит к большому объему вычислений, особенно для сложной правой части. Применение разностных методов позволяет существенно сократить объем вычислений и затраты машинного времени, так как на каждом шаге правая часть вычисляется только один раз.

В основе разностных методов лежит использование различных интерполяционных алгебраических многочленов (многочлены Ньютона, Стирлинга, Эрмита и др.). При этом решение x на (n + 1) шаге определяется алгоритмом (6.105) где h — шаг; _i — постоянные коэффициенты; f_k — значение алгебраического многочлена в точке k. Как следует из (6.105) для определения решения х_k+j; необходимо знать значения х₁, х₂, …, х_j — они находятся обычно либо аналитически, либо методом Рунге—Кутта.