6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка

Рассмотрим применение классического метода к расчету переходных процессов в цепях первого порядка. Это цепи, содержащие только однотипные реактивные элементы (емкости или индуктивности), процессы, в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.10)

Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи.

Переходные процессы в RL-цепях

Рассмотрим включение RL-цепи к источнику напряжения u(t) (рис. 6.1).

Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток i_L(0_–) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной i_L = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК: (6.11)

Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме (6.12) где i_св — свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без участия источника u(t); i_np — принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u(t).

Свободная составляющая тока i_св есть общее решение однородного дифференциального уравнения (6.13) и согласно (6.7) (6.14) где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристического уравнения типа (6.6); (6.15)

Отсюда p = —R/L. Величина 1/|р| носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL-цепи = L/R.

Принужденная составляющая i_пp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, i_пp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:

В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима: i_пp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае^{–t /} + U/R и учтем начальные условия для i, а также первый закон коммутации (6.1):

Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL-цепи определяется уравнением (6.16)

Напряжение на индуктивности согласно (1.9) (6.17)

На рис. 6.2 изображены графики зависимости i(t) и u_L(t). Анализ полученных уравнений (6.16) и (6.17) показывает, что чем больше постоянная времени цепи , тем медленнее затухает переходной процесс. На практике принято считать переходной процесс законченным при t = (3…5), при t = 3 ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5 — более 99%. Графически постоянная времени может определиться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к u_L (рис. 6.2), в указанный момент напряжение на u_L уменьшается в е раз по сравнению с начальным.

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0₊ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

Для второго случая принужденная составляющая тока где , = arctg(L/R). Постоянная интегрирования определяется из уравнения

Откуда . Следовательно, закон изменения тока в цепи в этом случае будет (6.18)

На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности (6.19) где U_mL = LI_m.

Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u(t) в момент, когда _u = ± /2 в последней могут возникать сверхтоки. Если постоянная времени цепи достаточно велика, то скачок тока в начальный период может достигать i_max 2I_m. Напротив, при включении цепи в момент, когда _u = , в ней сразу наступает установившийся режим. Аналогичная картина наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).

В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL-цепи (рис. 6.4). К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равная W_L = Li²(0_– )/2, где i(0_– ) = U/(R₀ + R). После коммутации в RL-цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением: (6.20) т. е. i_пp = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) – (6.15):

Постоянную А находим из начального условия i(0_– ) и закона коммутации (6.1):