6.1. Переходный режим электрических цепей. Законы коммутации
6.2. Классический метод расчета переходных процессов
6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка
6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка
6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение
6.6. Переходные процессы в разветвленных цепях
6.1. Переходный режим электрических цепей. Законы коммутации
В предыдущих главах рассматривались процессы в электрических цепях и методы их расчета в установившемся режиме, т. е. в режиме, при котором напряжения и токи в цепях либо не зависят от времени, либо являются периодическими функциями времени в зависимости от вида приложенного воздействия. Установившийся режим в цепи достигается обычно через определенный промежуток времени после начала воздействия, поэтому рассмотренные ранее методы анализа не охватывают так называемый переходный режим от начала воздействия до установившегося состояния цепи. Переходной режим работы цепи обусловлен наличием в ней реактивных элементов (индуктивности, емкости), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. При различного рода воздействиях (подключении к цепи или исключении источников электрической энергии, изменении параметров цепи) изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно в силу непрерывности изменения энергии электрического и магнитного полей (принцип непрерывности), что и приводит к возникновению переходных процессов. Следует подчеркнуть, что переходные процессы во многих устройствах и системах связи являются составной «нормальной» частью режима их работы. В то же время в ряде случаев переходные процессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как возникновение сверхтоков и перенапряжений. Все это определяет важность рассмотрения методов анализа переходных процессов в электрических цепях.
В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации. Коммутацией принято называть любое изменение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или отключение источников, приводящее к возникновению переходных процессов. Коммутацию будем считать мгновенной, однако переходный процесс, как было отмечено выше, будет протекать определенное время. Теоретически для завершения переходного процесса требуется бесконечно большое время, но на практике его принимают конечным, зависящим от параметров цепи. Будем считать, что коммутация осуществляется с помощью идеального ключа К (рис. 6.1), сопротивление которого в разомкнутом состоянии бесконечно велико, а в замкнутом равно нулю. Направление замыкания или размыкания ключа будем показывать стрелкой. Будем также считать, если не оговорено иное, что коммутация осуществляется в момент t = 0.
Различают первый и второй законы коммутации. Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля катушки индуктивности WL = Li2/2 и гласит: в начальный момент t = 0+ непосредственно после коммутации ток в индуктивности имеет то же значение, что и в момент t = 0– до коммутации и с этого момента плавно изменяется (здесь и далее под f(0— ) понимается левосторонний предел функции f(t) при t 
0— , а под f(0+ ) — правосторонний предел f(t) при t0+ ) 
(6.1)
Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического поля емкости WC = Cu2/2: в начальный момент t = 0+ непосредственно после коммутации напряжение на емкости имеет то же значение, что и в момент t = 0– до коммутации и с этого момента плавно изменяется: 
(6.2)
В отличие от тока в индуктивности iL и напряжения на емкости uC напряжение на индуктивности uL и ток в емкости iC могут изменяться скачком, так как согласно (1.9) и (1.12) они являются производными от iL и uC и с ними непосредственно не связана энергия магнитного и электрического полей. Значения токов в индуктивности iL(0+) и напряжений на емкостях uC(0+) образуют начальные условия задачи. В зависимости от начального энергетического состояния цепи различают два типа задач расчета переходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями, когда непосредственно после коммутации (при t = 0+) iL(0+) = 0; uC(0+) = 0 (т. е. WL(0+) + WC(0+) = 0) и задачи с ненулевыми начальными условиями, когда iL(0+) 
0 и (или) uC(0+) 0 (т. е. WL(0+) + WC(0+) 0). Нулевые и ненулевые значения начальных условий для iL и uC называются независимыми, а начальные условия остальных токов и напряжений зависимыми. Независимые начальные условия определяются с помощью законов коммутации (6.1) и (6.2).
6.2. Классический метод расчета переходных процессов
В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства решения обычно принято составлять дифференциальные уравнения относительно независимой переменной, в качестве которой может служить iL или uC. Решение полученных дифференциальных уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.
Учитывая, что в ряде случаев решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к одному дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно выбранной независимой переменной iL или uC. Порядок дифференциального уравнения определяется числом независимых накопителей энергии электрического и магнитного полей.
Обозначим независимую переменную (iL или uC) через x = x(t).
Дифференциальное уравнение m-гo порядка, описывающее переходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием источника w(t), описывается уравнением: 
(6.3) где b0, b1, …, bm–1, bm — коэффициенты параметров цепи; w(t) — функция, описывающая характер воздействия на цепь.
Цепь, параметры которой b0, b1, …, bm–1, bm – неизменны, называют цепью с постоянными параметрами. Если же какой-либо из коэффициентов b0, b1, …, bm–1, bm — переменен, то цепь называют параметрической. В дальнейшем будем рассматривать цепи с постоянными параметрами.
Дифференциальное уравнение (6.3) относится к линейным неоднородным уравнениям m-го порядка. Как известно, его решение находится как сумма общего решения xсв однородного дифференциального уравнения m-го порядка: 
(6.4) и частного решения xпр уравнения (6.3): 
(6.4) где xсв и xпр — общее и частное решения. Общее решение xсв определяет свободные процессы, которые протекают в цепи без участия источника w(t) (отсюда индекс «св»). Частное решение xпр определяет принудительный процесс (отсюда индекс «пр»), который протекает в цепи под влиянием w(t). В теории цепей xпр обычно находят одним из ранее рассмотренных методов расчета цепей в установившемся режиме.
Свободная составляющая переходного процесса xсв будет зависеть от характера корней характеристического уравнения: 
(6.6)
В случае, когда корни p1, p2, …, рm характеристического уравнения (6.6) вещественные и различные, решение (6.4) имеет вид 
(6.7) где A1, A2, …, Am — постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.
В случае, когда корни уравнения (6.6) вещественные и равные, т. е. p1 = p2 = … = рm = p, свободная составляющая определяется уравнением 
(6.8)
Представляет практический интерес и случай, когда корни попарно комплексно-сопряженные рk,k–1= —a ± j
с. При этом в формуле (6.7) соответствующая пара корней рk,k–1заменяется слагаемыми вида 
(6.9) где A, 
— постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий.
6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка
Рассмотрим применение классического метода к расчету переходных процессов в цепях первого порядка. Это цепи, содержащие только однотипные реактивные элементы (емкости или индуктивности), процессы, в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка 
(6.10)
Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи.
Переходные процессы в RL-цепях
Рассмотрим включение RL-цепи к источнику напряжения u(t) (рис. 6.1).
Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток iL(0–) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной iL = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК: 
(6.11)
Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме 
(6.12) где iсв — свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без участия источника u(t); inp — принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u(t).
Свободная составляющая тока iсв есть общее решение однородного дифференциального уравнения 
(6.13) и согласно (6.7) 
(6.14) где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристического уравнения типа (6.6); 
(6.15)
Отсюда p = —R/L. Величина 1/|р| носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL-цепи 
= L/R.
Принужденная составляющая iпp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, iпp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая: 
В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима: iпp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае–t / + U/R и учтем начальные условия для i, а также первый закон коммутации (6.1): 
Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL-цепи определяется уравнением 
(6.16)
Напряжение на индуктивности согласно (1.9) 
(6.17)
На рис. 6.2 изображены графики зависимости i(t) и uL(t). Анализ полученных уравнений (6.16) и (6.17) показывает, что чем больше постоянная времени цепи , тем медленнее затухает переходной процесс. На практике принято считать переходной процесс законченным при t = (3…5), при t = 3 ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5 — более 99%. Графически постоянная времени может определиться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к uL (рис. 6.2), в указанный момент напряжение на uL уменьшается в е раз по сравнению с начальным.
Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = 
как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).
Для второго случая принужденная составляющая тока 
где 
, 
= arctg(L/R). Постоянная интегрирования определяется из уравнения 
Откуда 
. Следовательно, закон изменения тока в цепи в этом случае будет 
(6.18)
На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности 
(6.19) где UmL = LIm.
Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u(t) в момент, когда u = ± 
/2 в последней могут возникать сверхтоки. Если постоянная времени цепи достаточно велика, то скачок тока в начальный период может достигать imax 
2Im. Напротив, при включении цепи в момент, когда u = , в ней сразу наступает установившийся режим. Аналогичная картина наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).
В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL-цепи (рис. 6.4). К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равная WL = Li2(0– )/2, где i(0– ) = U/(R0 + R). После коммутации в RL-цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением: 
(6.20) т. е. iпp = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) – (6.15): 
Постоянную А находим из начального условия i(0– ) и закона коммутации (6.1): 
 |  |
 |  |