19. Дискретные цепи и сигналы

19.1. Дискретные сигналы

19.2. Спектр дискретного сигнала

19.3. Z-преобразование и его свойства

19.4. Дискретные цепи

19.5. Типовые звенья дискретных цепей

19.6. Дискретные фильтры и их синтез

19.7. Цифровые фильтры

19.8. Вопросы и задания для самопроверки

19.1. Дискретные сигналы

Дискретизация аналоговых сигналов. Сигнал – это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией.

Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Аналоговые сигналы описываются непрерывной во времени функцией x(t), которая может принимать любые значения в определенном интервале (рис. 19.1, а); дискретные сигналы x_Т(t) представляют собой последовательности или отсчеты функции x(t), взятые в определенные дискретные моменты времени kT (рис. 19.1, б); цифровыми являются сигналы, которые в дискретные моменты времени kT принимают конечные дискретные значения – уровни квантования (рис. 19.1, в), которые затем кодируются двоичными числами. (На рис. 19.1, в, D – шаг квантования).

Если в цепь микрофона (рис. 19.1), где ток i(t) является непрерывной функцией времени, встроить ключ и периодически на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерывного сигнала. Последовательность этих импульсов, которые называют отсчетами непрерывного сигнала, и представляет собой, не что иное, как дискретный сигнал. Причем, во всех этих записях k – целое число, принимающее как положительные, так и отрицательные значения.

В отличие от непрерывного сигнала i(t) дискретный сигнал можно обозначить i_Т(t). Так, на рис. 19.1 при k < 0 дискретный сигнал i_Т(t) º 0. При k = 0 значение i_Т(0T) равно значению сигнала i(t) в момент времени t = 0. При k > 0 отсчеты i(kT) повторяют форму сигнала i(t), т. к. их амплитуды равны значениям непрерывного сигнала в моменты времени kT.

Дискретные сигналы можно задавать графиками, как это показано на рис. 19.1, формулами, например, , в виде таблиц дискретных значений или другими способами.

Цифровые сигналы будут рассмотрены в 19.7. Цифровые фильтры.

Математическая модель дискретного сигнала. Аналитически дискретный сигнал х_Т(t) удобно представлять с помощью дискретизирующей последовательности d-функций:

(19.1)

Тогда х_Т(t) можно представить в виде

(19.2)

т. е. дискретный сигнал х_Т(t) с помощью (19.2) представляется в виде последовательности d-функций с весовыми коэффициентами, равными отсчетам х(kT) аналогового сигнала х(t) в точках kT. На рис. 19.2 изображена схема, иллюстрирующая процедуру формирования дискретного сигнала согласно формулы (19.2).

Рассмотрим примеры некоторых дискретных сигналов, полученных из типовых аналоговых сигналов.

Пример. Единичный ступенчатый аналоговый сигнал 1(t) приведен на рис. 19.3.

Соответствующий ему дискретный сигнал x_T(t) называется ступенчатой последовательностью. Он определяется следующим образом:

Такая последовательность приведена на рис. 19.3.

Пример. Импульс Дирака или d-функция в аналоговой области приведена на рис. 19.4.

Дельта-последовательность или дискретная d-функция определяется выражением

Последовательность d_T(t), приведенная на рис. 19.4, принимает единственное значение, равное 1, при k = 0. Этот сигнал можно сдвинуть на m интервалов (рис. 19.4):

Интервал времени T, через который отсчитываются значения непрерывного сигнала i(t), называется интервалом дискретизации. Обратная величина 1/T (обозначим ее f_д) называется частотой взятия отсчетов или частотой дискретизации.

Отсчеты непрерывного сигнала следует брать с такой частотой (или через такой интервал времени), чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые, изменения сигнала. Иначе, при восстановлении этого сигнала по дискретным отсчетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от формы исходного (рис. 19.5). Если обратиться к схеме рис. 19.1, то это означает, что звук на приеме будет восприниматься с искажениями.

Для сигналов с ограниченным спектром, т. е. сигналов, у которых спектр ограничен некоторой верхней частотой w_в = 2pF_в существует теорема Котельникова, определяющая выбор интервала дискретизации T (или, что то же, частоты дискретизации). Эта теорема впервые была доказана В.А. Котельниковым в 1933 г. в работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи» ставшей основополагающей в теории и технике цифровой связи.

Теорема Котельникова. Если функция x(t) имеет спектр, ограниченный верхней частотой F_в, то x(t) полностью определяется последовательностью своих значений (отсчетов) в моменты времени, отстоящие друг от друга на период Т Ô 1/2F_в.

Математически теорема Котельникова записывается следующим образом

(19.3)

где w_в = 2pF_в; Т = 1/2F_в; x(kT) – значения (отсчеты) функции x(t) в моменты kT.

Доказательство теоремы Котельникова дается в общей теории связи. Здесь же отметим, что функция вида (t¢ = t – kT) известна нам как функция отсчетов, поэтому теорему Котельникова иногда называют еще теоремой отсчетов.

Физический смысл теоремы Котельникова (19.3) заключается в том, что непрерывная функция x(t) с ограниченным спектром F_в полностью может быть восстановлена, если известны ее отсчеты, взятые через интервал Т Ô 1/2F_в. Эта теорема играет очень большую роль в теории связи, т. к. позволяет передачу аналоговых сигналов заменить передачей дискретных или цифровых сигналов, что позволяет существенно повысить эффективность систем связи.

19.2. Спектр дискретного сигнала

Преобразование Фурье для дискретного сигнала. Определим связь между спектром X(jw) аналогового сигнала x(t) и спектром X_Т(jw) дискретного сигнала x_Т(t), определенного моделью (19.2). Учитывая, что x_Т(t) = x(t)f(t) согласно теоремы свертки (9.30) получим спектральную плотность дискретного сигнала

(19.4)

где X_f(jw) – спектральная плотность дискретизирующей последовательности (19.1).

Для нахождения X_f(jw) разложим f(t) в комплексный ряд Фурье (5.6):

(19.5)

где w_д = 2p/Т – частота дискретизации,

Отсюда согласно (9.42) получаем

(19.6)

Подставив (19.6) в формулу (19.4) после изменения порядка интегрирования и суммирования и с учетом фильтрующего свойства d-функции окончательно получим

(19.7)

Из (19.7) следует важный вывод: спектр дискретного сигнала x_T(t) (рис. 19.6 б) представляет собой сумму бесконечно большого числа «копий» спектра аналогового сигнала (рис. 19.6, а), расположенных на оси частот через одинаковые интервалы.

Следует отметь, что согласно (19.7) и рис. 19.6, б энергия спектра дискретного сигнала оказывается бесконечно велика, что является следствием идеализации реального сигнала моделью (19.2). Если же использовать вместо дискретизирующей последовательности (19.1) последовательность импульсов конечной энергии (например, прямоугольных импульсов), то получим спектр X_Т(jw), энергия которого убывает с ростом w («копии» X(jw) с ростом w уменьшаются). В то же время следует еще раз подчеркнуть, что представление дискретного сигнала в форме (19.2) существенно упрощает анализ дискретных сигналов и цепей и широко используется в расчетах.

Спектр дискретного сигнала X_Т(jw) можно найти и непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6) для дискретного сигнала (действует в момент t Õ 0).

Отсюда с учетом фильтрующего свойства d-функции получим прямое преобразование Фурье для дискретных сигналов.

(19.8)

и обратное преобразование Фурье:

(19.8)

На практике в формулах (19.8), (19.9) часто вместо зависимости X_Т(jw) рассматривают зависимости X_Т(jf), которые легко можно получить путем замены w = 2pf.

Пример. Рассчитаем спектр дискретного сигнала, состоящего из одного отсчета x_Т(t) = [a; 0; 0; 0; …].

Воспользуемся формулой (19.8), в которую подставим значения x_t(t) заданного сигнала

.

Пример. Рассчитаем спектр экспоненциальной дискретной функции x_Т(t) = 0,5^k, k 0.

График дискретной функции x_Т(t) приведен на рис. 19.7, а ее отсчеты можно записать в виде последовательности x{k} = {1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; …}.

Спектр дискретной экспоненты рассчитаем по формуле (19.8)

где для суммирования ряда использована формула

.

Используя формулу Эйлера , получим выражение для расчета спектра амплитуд X(f).

.

Для построения графика будем задавать значения f от 0 до 1/Т с шагом 0,1/T и рассчитывать X(f).

График спектра амплитуд X(f) экспоненциальной дискретной функции x_T(t) = 0,5^k приведен на рисунке 19.8.

Как видно из графика, спектр дискретного сигнала сплошной и периодический с периодом f_д = 1/Т.

Следует отметить, что если не выполняется условие теоремы Котельникова: f_д 2f_в, то спектры в (19.7) частично перекрываются. На рис. 19.9, рис. 19.10 показан характер изменения спектра дискретного сигнала X_T(f) при изменении частоты дискретизации сигнала x_T(t), ограниченного во времени интервалом T_с (рис. 19.9) и неограниченного во времени (рис. 19.10).

Как следует из представленных графиков увеличение периода дискретизации T > 1/2F_в; F_д < 2F_в приводит к наложению смежных спектров в (19.7), что приводит к наложению спектра Х_T(f). Эти искажения называются ошибками наложения. Чтобы их устранить необходимо частоту дискретизации увеличить до F_д 2F_в.

Пример. Рассчитаем интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше 100 кГц.

Из условия задачи следует, что граничная частота спектра F^в равна 100 кГц. Тогда в соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дискретизации

.

Минимально допустимая частота дискретизации f_д = 2F^в = 2×100 = 200 кГц.

Пример. Определим дискретные отсчеты сигнала длительностью t_и = 3 мс, приведенного на рис. 19.11, а, если в качестве граничной частоты спектра F^в принять значение 3/t_и, выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.

Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, однако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким образом, чтобы отсекание частот превышающих F^в, привело к пренебрежимо малым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере.

Граничная частота спектра F^в = 3/t_и = 3/(3×10³) = 1 кГц.

Интервал дискретизации T = 1/(2F^в) = 1/(2×1×10³) = 0,5 мс.

Берем отсчеты сигнала, приведенного на рис. 19.11, а, через интервал времени T = 0,5 мс и получаем последовательность x{k} = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0}, изображенную графически на рис. 19.11, б.

Отметим, что аналоговый сигнал x(t) можно полностью восстановить по его дискретным отсчетам x(kT) с помощью ФНЧ, частота среза которого w_с = 0,5w_д = w_в. Этот вывод хорошо иллюстрирует рис. 19.10, а из которого видно, что спектр сигнала на выходе ФНЧ совпадает со спектром аналогового сигнала x(t).

Дискретное преобразования Фурье. Как следует из формулы (19.7) X_T(jw) имеет периодическую структуру с w_д = 2p/T. Причем, как и спектр аналогового сигнала X(jw) спектр дискретного сигнала X_T(jw) является сплошным (см. рис. 19.6, б). Вместе с тем при цифровой обработке сигналов используется не только дискретизация во времени, но и дискретизация в частотной области.

Для сигнала x(t) ограниченного во времени интервалом T_с (рис. 19.12, а) справедлива обратная теорема Котельникова, которая может быть получена из (19.3) путем заменыt ->w; w_в->T_с/2; Т-> Dw:

(19.10)

где Dw = 2p/T_с; T_с – длительность сигнала;X(nDw) – отсчеты спектра сигнала в частотной области.

Переходя к дискретному сигналу x_T(t) (рис. 19.12, б) отметим, что общее количество отсчетов сигнала будет равно

где T = 2p/w_д = p/w_в.

Дискретный спектр (рис. 19.12, е) может быть получен путем периодического повторения последовательности {x(kT)} с периодом T_с = NT (рис. 19.12, в). При этом частотный интервал между дискретными отсчетами спектра (рис. 19.12, е) составляет

(19.11)

С учетом вышеизложенного дискретное преобразование Фурье (ДПФ) можно получить, если в преобразовании (19.8) сделать замену w = nDw. Тогда получим

или с учетом (19.11)

(19.12)

где n = 0; ±1; ±2; ± … N/2.

Для упрощения записи аргумент nDw и kT обычно заменяют индексом n и k соответственно и опускают индекс T, при этом (19.12) примет вид

(19.13)

которое определяет прямое ДПФ.

С помощью (19.13) можно определить отсчеты спектра X(jn) по временным отсчетам сигнала x(k).

Обратное ДПФ можно получить из (19.13) воспользовавшись дуальностью прямого и обратного преобразований Фурье:

(19.14)

При k < 0 обратное преобразование Фурье определит x(k), расположенную слева от 0 (рис. 19.12, в).

Для ДПФ по аналогии с непрерывными преобразованиями Фурье справедливы основные теоремы и свойства.

В частности, свойство линейности

(19.15)

сдвиг дискретного сигнала:

(19.16)

т. е. сдвиг последовательности отсчетов сигнала на m интервалов приводит лишь к изменению фазового спектра дискретного сигнала.

Теорема свертки:

(19.17)

где N = N₁ + N₂; N₁, N₂ – число отсчетов х₁ и х₂ соответственно.

Аналогично можно записать и другие теоремы для ДПФ. Заметим, что ДПФ можно использовать для определения не только спектра дискретных сигналов, но и спектра аналоговых сигналов, для чего его необходимо дискретизировать согласно теоремы Котельникова (19.3).

Пример. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного тремя отсчетами x{k} = {0; 1; 2}.

Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (19.13).

Поскольку

, ,

то ,

.

Графики заданного дискретного периодического сигнала x(k) и рассчитанного дискретного периодического спектра амплитуд X(n) приведены на рис. 19.13.

Пример. Рассчитаем значения дискретного сигнала x(k), ДПФ которого имеет вид X[n] = {0; 1; 0; 1}.
Значения дискретного сигнала x(k) будем рассчитывать по формуле (19.14)

;

График последовательности x{k} = {0,5; 0; –0,5; 0} приведен на рис. 19.14. Сигнал x(k) дискретный и периодический.

Пример. Определить с помощью ДПФ спектр аналогового сигнала, изображенного на рис. 19.15, а.

Ограничим длительность сигнала T_c, где (рис. 9.15, а). Например, при T_c = 3/a, . Выберем число отсчетов N = 10, определим частоту дискретизации

Согласно (19.13) находим отсчеты спектра сигнала

и т.д.

В таблице приведены результаты расчета спектра,