16.6. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез реактивных двухполюсников

Идея любого метода синтеза двухполюсников заключается в том, что находится способ разложения заданной операторной функции на более простые функции, по которым уже легко восстановить схему. Например, пусть входное сопротивление выражается формулой

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:

Из этой записи очевидно, что соответствующая схема состоит из последовательного соединения резистора a₁/b₁ в емкости b₁/a₀.

Напомним общие свойства реактивных двухполюсников. Эти свойства вытекают из того факта, что LС-двухполюсники не могут рассеивать энергию, поэтому при p = j вещественная часть функции сопротивления и проводимости равна нулю

Таким образом, сопротивление (проводимость) двухполюсника является мнимой функцией частоты, а нули и полюсы соответствующей операторной функции лежат на мнимой оси, чередуются и являются простыми, а вычеты в полюсах – положительными. Так как коэффициенты операторной входной функции являются вещественными, то нули и полюсы составляют комплексно-сопряженные пары. Учитывая сказанное, операторное сопротивление реактивного двухполюсника можно записать в виде

Объединяя попарно комплексно-сопряженные нули и полюсы получаем (см. табл. 4.1): (16.15)

Напомним, что чередование нулей и полюсов отображается неравенством (16.16)

Если заданная функция Z(p) обладает свойствами входного сопротивления реактивных двухполюсников, то говорят, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости. Это означает, что существуют схемы двухполюсников с реальными значениями элементов, входное сопротивление которых описывается заданной функцией Z(p).

В результате синтеза часто получают двухполюсники в виде канонических схем Фостера или Кауэра (подобные схемы существуют и для RLC-двухполюсников).

Для иллюстрации идеи синтеза ограничимся рассмотрением только реактивных двухполюсников.

Метод Фостера. Рассмотрим метод синтеза LC-двухполюсников, предложенный Фостером. Согласно этому методу функцию сопротивления либо функцию проводимости, как любую дробно-рациональную функцию, можно представить в виде суммы дробей (вспомним, например, теорему разложения).

Для двухполюсников, построенных по первой форме Фостера, наиболее общей является схема, изображенная на рис. 16.4. Остальные схемы могут быть получены из нее путем “удаления” соответствующих элементов L_а и С_а.

Рис. 16.4

Можно составить выражение для входного сопротивления Z(p), отражающее структуру рис. 16.4: (16.17)

Первые два слагаемые соответствуют последовательному соединению элементов L_а и С_а, остальные – последовательному соединению параллельных контуров с элементами L₂ и С₂, L₄ и С₄ и т. п. Существуют формулы для расчета элементов этой схемы. Приведем их без доказательства: (16.18)

Процедура синтеза двухполюсников по первой форме Фостера сводится, таким образом, к представлению заданной рациональной дроби Z(p) в виде (16.17) и расчету элементов по формулам (16.18). Заметим, что первое слагаемое будет существовать в выражении (16.17) тогда, когда заданная дробь Z(p) неправильная, т. е. степень числителя будет на единицу превышать степень знаменателя. Число элементов двухполюсника соответствует наивысшей из степеней числителя и знаменателя заданной дроби Z(p). При четных степенях знаменателя из (16.17) исчезает второе слагаемое 1/(рС_а).

Пример. Дано выражение

Осуществим синтез двухполюсника по первой форме Фостера. Можно показать, что заданная функция Z(p) является физически реализуемой. Представим Z(p) в виде (16.17): (16.17a)

Расчет элементов произведем по формулам (16.18): С₁ = 1,165 мкФ; С₃ = 7,0 мкФ; L₁ = 1/(₂²С₁) = 28,6 мГн; L₃ = 1/(₄²С₃) = 0,84 мГн.

Схема двухполюсника состоит из четырех элементов (наивысшая степень дроби – 4): последовательно соединенных двух параллельных колебательных контуров с элементами L₁, С₁ и L₃, С₃. Отсутствие в схеме катушки индуктивности L_а обусловлено тем фактом, что дробь Z(p) правильная. Вследствие четности степени знаменателя в схеме отсутствует конденсатор С_а.

Аналогичным образом осуществляется синтез двухполюсников по второй форме Фостера. В этом случае наиболее общей является схема на рис. 16.5.