В настоящее время в связи с широким распространением цифровых систем передачи и обработки информации возникла необходимость изучения принципов формирования и методов оценки характеристик таких сигналов. Как известно из предыдущего материала, формирование цифрового сигнала включает в себя следующие операции: дискретизацию аналогового сигнала во времени, квантование дискретного сигнала по уровню и перекодирование значений квантованного сигнала из одной системы счисления в другую (в подавляющем большинстве случаев – в двоичную). Мы начнем с рассмотрения спектральных характеристик дискретного сигнала.
Напомним, что дискретный сигнал (или дискретная последовательность) формируется при помощи перемножителя (рис. 8.1), на один из входов которого поступает аналоговый сигнал 
, а на второй – последовательность коротких импульсов 
с периодом следования 
, значение которого определяется теоремой Котельникова
,
где 
или 
– верхняя граничная частота аналогового сигнала 
.
Тогда дискретный сигнал может быть описан выражением
. (8.1)
Вычислим спектр дискретного сигнала. В первую очередь, рассмотрим второй сомножитель выражения (8.1)
. (8.2)
Этот сомножитель представляет собой математическое описание периодической последовательности импульсов. Обычно при осуществлении операции дискретизации форма импульса 
выбирается прямоугольной. Поэтому в дальнейшем будем полагать, что 
представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитудой 
и длительностью 
, следующих с периодом 
.
Как известно, периодическая последовательность прямоугольных импульсов может быть представлена рядом Фурье, который для рассматриваемого случая принимает вид
. (8.3)
где 
, 
– скважность, 
.
Тогда с учетом (8.3) выражение (8.1) принимает вид
. (8.4)
Применим к (8.4) прямое преобразование Фурье
.
Подстановка в эту формулу выражения (8.4) дает
. (8.5)
Интеграл первого слагаемого в (8.5) представляет собой спектр исходного аналогового сигнала. Представим второе слагаемое в (8.5) в виде
. (8.6)
Учитывая, что 
, запишем
. (8.7)
Тогда с учетом (8.6) и (8.7) выражение (8.5) принимает вид
. (8.8)
Здесь пределы суммирования составляют 
в виду того, что спектр 
распространяется на область отрицательных частот.
Дальнейший спектральный анализ дискретного сигнала существенно упрощается, если предположить, что дискретизация осуществляется последовательностью прямоугольных импульсов единичной площади. В этом случае амплитуда импульса 
и выражение (8.8) запишется следующим образом
. (8.9)
Если устремить 
, т.е. перейти к последовательности бесконечно коротких импульсов ( 
-импульсов), т.е.
, (8.10)
то с учетом того, что 
, спектральная функция дискретного сигнала окончательно принимает вид
. (8.11)
На рис. 8.2 а) представлен аналоговый сигнал 
и условное изображение модуля его спектральной функции 
, а на рис. 8.2б – дискретный сигнал 
и модуль его спектра 
. Из выражения (8.11) и рис. 8.2 следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой бесконечную последовательность копий спектра исходного аналогового сигнала 
, причем эта последовательность носит периодический характер. Расстояние по оси частот между отдельными копиями составляет 
(или 
), что соответствует периоду последовательности копий на оси частот. Отметим, что 
(или 
) – это частота дискретизации. Таким образом, период спектральной функции дискретного сигнала равен частоте дискретизации.
