Возвратимся к постановке задачи обнаружения сигнала на фоне помех. Будем полагать, что смесь сигнала и помехи (7.1) поступает на вход фильтра, согласованного с сигналом 
. Помеха 
представляет собой «белый шум» с двусторонним энергетическим спектром 
.
Как известно, сигнал на выходе линейной цепи с импульсной характеристикой 
определяется соотношением
,
где 
– переменная интегрирования.
Так как сигнал 
ограничен во времени интервалом 
, можно записать
. (7.16)
Подставляя сюда выражение (7.1) для входного сигнала, получим
. (7.17)
Из выражения (7.17) следует, что сигнал на выходе согласованного фильтра содержит полезную (сигнальную) составляющую
, (7.18)
и шумовую составляющую
. (7.19)
Для оценки качества работы согласованного фильтра необходимо найти отношение сигнал/помеха на его выходе как отношение средних мощностей сигнальной и шумовой составляющих.
Подставляя в (7.18) выражение для импульсной характеристики фильтра (7.13), получим
.
Но:
,
и сигнальная составляющая на выходе согласованного фильтра
,
пропорциональна автокорреляционной функции входного сигнала 
при 
. Так как АКФ достигает максимума при 
, или при 
, то
.
Иными словами сигнальная составляющая при 
пропорциональна энергии входного сигнала. Очевидно, максимальная мощность сигнальной составляющей на выходе согласованного фильтра будет равна
. (7.20)
Рассчитаем среднюю мощность помехи на выходе согласованного фильтра. Средняя мощность (дисперсия) помехи
, (7.21)
где 
– двусторонняя спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.
С другой стороны, энергетический спектр
.
Подставляя в это выражение формулу (7.15), определяющую АЧХ фильтра, получим
. (7.22)
Тогда, с учетом (7.22) средняя мощность помехи (7.21) будет равна:
.
Но согласно равенству Парсеваля
.
Следовательно, средняя мощность помехи на выходе фильтра
. (7.23)
Отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра с учетом (7.6) определяется как
. (7.24)
Таким образом, отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра не зависит от формы сигнала (поскольку импульсная характеристика «согласована» с его формой) и определяется только его энергией и спектральной плотностью помехи вида «белого шума».
Возвратимся к выражению (7.16) и подставим в него выражение (7.11). Тогда в момент времени 
выходной сигнал будет иметь вид
.
Из этого выражения вытекает алгоритм обработки входного сигнала. Согласованный фильтр осуществляет перемножение входного колебания 
на «копию» полезного сигнала 
и интегрирование на интервале времени 
. При этом выходной отклик согласованного фильтра не зависит от времени прихода сигнала. Это свойство называется инвариантностью фильтра к моменту
прихода сигнала в смеси с помехой. Если сигнал пришел в момент времени 
, то отклик появится в момент времени 
, если в момент времени 
– отклик появится в момент 
. Обнаружитель на базе согласованного фильтра содержит (рис. 7.2 а):
– собственно согласованный фильтр СФ;
– пороговое устройство с порогом срабатывания 
.
На выходе СФ формируется сигнал, достигающий максимального значения:
. (7.25)
Если 
, то принимается решение о том, что сигнал обнаружен и наоборот.
Операцию умножения и интегрирования можно осуществить и другим устройством, называемым коррелятором (рис. 7.2б). Коррелятор содержит перемножитель и интегратор. Нетрудно убедится, что выходной сигнал коррелятора также будет описываться (7.25). Однако, для реализации коррелятора необходимо знать момент прихода сигнала. Поэтому коррелятор неинвариантен к моменту прихода сигнала.