5.4. Теорема Винера–Хинчина

Энергетический спектр и автокорреляционная функция случайного процесса являются неслучайными функциями, связанными между собой. Установим эту связь. Рассмотрим реализацию случайного процесса длительностью и ее копию , сдвинутую на интервал времени . Известно, что энергетический спектр и автокорреляционная функция детерминированного сигнала связаны между собой парой преобразований Фурье. Тогда с учетом выше приведенного предположения о том, что реализация и ее копия нам известны, можно записать

.

Разделим обе части этого равенства на

, (5.62)

и устремим .

Тогда в соответствии с (5.51) левая часть равенства (5.62) представляет собой автокорреляционную функцию . Учитывая (5.59) равенство (5.62) можно представить следующим образом

. (5.63)

Но это есть обратное преобразование Фурье, связывающее АКФ случайного процесса с его энергетическим спектром. Очевидно, если существует обратное преобразование, значит, существует и прямое преобразование Фурье

, (5.64)

связывающее энергетический спектр с АКФ.

Таким образом, АКФ случайного процесса и его энергетический спектр связаны между собой парой преобразований Фурье. Впервые эта связь была установлена советским математиком А. Хинчиным и независимо от него американским ученым Н. Винером. Поэтому соотношения (5.63) и (5.64) носят название теоремы Винера–Хинчина.

Так как автокорреляционная функция и энергетический спектр являются вещественными четными функциями, можно отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к другой форме

, (5.65)

. (5.66)

Из этих выражений следует

, (5.67)

. (5.68)

Но , откуда

,

что совпадает с (5.60).

В случае, когда энергетический спектр описывается функцией циклической частоты (5.61), выражения (5.65) – (5.68) приобретают вид

, (5.69)

. (5.70)

, (5.71)

. (5.72)