9. Ряды

9.1. Числовые ряды

9.2. Степенные ряды

9.1. Числовые ряды

Сходимость ряда. Сумма ряда

Пусть даны , тогда – ряд, где – член ряда.

Примеры различных рядов:

• 1+2+4+…+ – ряд сходится.
• 1–1+1–1+…+– расходится.

• – расходится (гармонический ряд).

• 

• — сходится.

, при .

– частичная сумма

Если , то – сумма ряда. Ряд сходится, если этот предел существует, и расходится, если не существует.

Пример:

Теорема. О сходимости ряда

Сходимость ряда не измениться, если отбросить конечное число его членов.

Признаки сходимости ряда

1. Необходимый признак сходимости:
2. Достаточный признак расходимости:

Доказательство:

Если , то ряд сходится.

3. 3. Достаточный признак сходимости (для знакопостоянных рядов):
   4. Признак сравнения:

Имеем и , то

и – сходится, тогда – сходится.

или .

Если

Пример:

, а значит – сходится.

3. 3. Признак Даламбера:

Пусть , тогда при

– ряд сходится, – ряд расходится, – требуются дальнейшие исследования.

Доказательство:

Пусть , тогда , начиная с некоторого .

или

Получаем

Пример:

Ряд –

и

– ряд расходится.

• Радикальный признак Коши:

, при , .

Тогда если , то ряд сходится, если – ряд расходится.

Доказательство:

1. 1. Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), а значит –сходится по принципу сравнения.

• Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

Получаем, что –расходится.

Пример:

Ряд – .

Получаем – ряд сходится.

7. Интегральный признак Коши:

, при .

Доказательство:

и

Значит, если – сходится – сходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряды вида: , где .

Теорема Лейбница

Если и , то ряд – сходится.

Доказательство:

Пусть , тогда

. При

. ограниченна сверху .

Так как – возрастает и ограниченна сверху

Пример: – сходится.

Пусть дан ряд , тогда

1. 1. – сходится, тогда ряд – абсолютно сходится.

• – расходится и – сходится, тогда ряд сходится условно.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов не меняет сумму.

Если ряд сходится условно, то подходящей перестановкой можно сделать его сумму равной любому числу и даже сделать его расходящимся.

Действия над рядами

, – абсолютно сходящиеся.

Тогда – абсолютно сходится.

Функциональные ряды

, где – функция.

Область сходимости

Пусть фиксировано.

Тогда сходится, если –точка сходимости, и расходится, если – точка расходимости.

– область сходимости.

Пример:

, то ряд сходится.

, где – остаток ряда.

Если ряд сходится, то

Мажорируемые ряды

, где – мажорируемы.

Тогда – мажоранжа (если ряд сходится), при .

Теорема. О непрерывности суммы ряда

Пусть .

– сходится и , – непрерывна на .

Тогда – непрерывна на .

Доказательство:

(из определения непрерывности)

,

где .

При и .

Отсюда

Пример:

на

, разрыв при

Теорема. О почленном интегрировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – интегрируемы на ( – существует). Тогда

Теорема. О почленном дифференцировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – дифференцируемы на (– существует). Тогда

9.2. Степенные ряды

, где – коэффициент, – произвольная точка, .

Частный случай:

Теорема Абеля: У каждого степенного ряда существует радиус сходимости.

, при

– сходится

– расходится.

– точка сходимости.

Если , то , т.е. – мажорируемый.

Область сходимости:

– сходится при

Пример:

– сходится при .

Теорема. Радиус сходимости определяется как .

Доказательство:

Возьмем , тогда

По признаку Даламбера:

Отсюда или

Внутри радиуса сходимости степенной ряд мажорируем, его сумма непрерывна, его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Пример:

• 

или при ряд сходится.

• 

, значит ряд сходится при любых

• 

, значит при ряд сходится.

Разложение функций в степенной ряд

– ряд Тейлора.

, тогда

При

– ряд Маклорена.

Разложение некоторых функций в степенной ряд

1. 1. 

или – любое.

1. 1. 

или – любое.

1. 1. 

или – любое.

1. 1. или при ряд сходится

• 

или при ряд сходится

Сумма знакочередующегося ряда имеет погрешность не превосходящую первого отброшенного члена.

• 

• 

Пример:

• 

Имеем

Получаем

• 

Считая, что

Пример:

Контрольные примеры:

1. 1. Разложим в ряд и посчитаем

1. Разложим в ряд и посчитаем

Пример разложения функции в ряд Маклорена:

Получаем