Высшая математика

8. Кратные интегралы

8.1. Двойной интеграл

8.2. Двойной интеграл в полярной системе координат

8.3. Тройной интеграл

9. Ряды

9.1. Числовые ряды

9.2. Степенные ряды

10. Дифференциальные уравнения

10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

8. Кратные интегралы

8.1. Двойной интеграл

Пусть функция двух переменных z=f(x,y) – непрерывна на Д, где Д={(x,y)} – замкнутая область.

Разобьем эту область на прямоугольные части, как показано на рисунке.

Вычислим объем параллелепипеда с основанием и высотой :

— элементарный объем параллелепипеда.

Тогда двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д называется предел интегральной суммы (суммарного объёма)

,

если этот предел существует.

Теорема о существовании двойного интеграла

Если функция от x, y непрерывна в замкнутой области Д, то двойной интеграл существует и не зависит от способов разбиения и выбора точки в каждой элементарной области.

Геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндра, ограниченного снизу областью Д на плоскости (x, y), сверху поверхностью z = f(x, y).

Свойства двойного интеграла:

1)

2)

3)

Вычисление двойного интеграла:

Пусть Д – правильная область, т.е. любая прямая, параллельная осям координат пересекает область не более, чем в двух точках

Пусть (соответственно рисунку) уравнения верхней и нижней граничных линий есть и .

Тогда двойной интеграл можно представить в виде повторного интеграла

.

Пример:

F(x, y)=x+ y

Для вычисления двойного интеграла формируется повторный интеграл (порядок интегрирования выбирается самостоятельно). Заметим, что пределы внутреннего интеграла могут зависеть только от внешней переменной.

Теорема об оценке двойного интеграла:

Пусть и . Тогда

.

Следствие: площадь области Д равна

Пример:

Пусть область Д ограничена линиями:

Интегрируемая функция . Тогда

.

8.2. Двойной интеграл в полярной системе координат

Формулы перехода от декартовой в полярную систему координат:

.

Тогда . Двойной интеграл принимает вид:

8.3. Тройной интеграл

Пусть функция трёх переменных u=f(x,y,z) непрерывна в V , где V – замкнутая, ограниченная область в пространстве.

Разобьем область V на части плоскостями, параллельными координатным плоскостям. В каждом полученном параллелепипеде выберем точку и вычислим значение функции в этой точке . Составим интегральную сумму , где .

Переходя к пределу (если он существует), получим тройной интеграл:

.

Если функция непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то тройной интеграл существует и не зависит от способа разбиения и выбора точки.

Свойства тройного интеграла:

1. Линейность

2. Аддитивность

. Здесь .

3. Если

на V

то

Вычисление тройного интеграла:

Пусть V – прямоугольный параллелепипед.

— трехкратный повторный интеграл.

Пример:

Пример:

V – произвольное тело (правильное)

Вычисление тройного интеграла по произвольной области сводится к вычислению трехкратного повторного интеграла, причем внутренний интеграл берется между двумя ограничивающими поверхностями, средний – между двумя ограничивающими линиями, внешний – между двумя числами. Пределы интегрирования повторного интеграла не должны зависеть от внутренних переменных.

Пример:

u=f(x,y,z)

В этом примере удобно перейти в цилиндрическую систему координат.

9. Ряды

9.1. Числовые ряды

Сходимость ряда. Сумма ряда

Пусть даны , тогда – ряд, где – член ряда.

Примеры различных рядов:

• 1+2+4+…+ – ряд сходится.
• 1–1+1–1+…+– расходится.

 

• – расходится (гармонический ряд).

 

• 

 

• — сходится.

, при .

– частичная сумма

Если , то – сумма ряда. Ряд сходится, если этот предел существует, и расходится, если не существует.

Пример:

Теорема. О сходимости ряда

Сходимость ряда не измениться, если отбросить конечное число его членов.

Признаки сходимости ряда

1. Необходимый признак сходимости:
2. Достаточный признак расходимости:

Доказательство:

Если , то ряд сходится.

3. 3. Достаточный признак сходимости (для знакопостоянных рядов):
   4. Признак сравнения:

Имеем и , то

и – сходится, тогда – сходится.

или .

Если

Пример:

, а значит – сходится.

3. 3. Признак Даламбера:

Пусть , тогда при

– ряд сходится, – ряд расходится, – требуются дальнейшие исследования.

Доказательство:

Пусть , тогда , начиная с некоторого .

или

Получаем

Пример:

Ряд –

и

– ряд расходится.

• Радикальный признак Коши:

, при , .

Тогда если , то ряд сходится, если – ряд расходится.

Доказательство:

1. 1. Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), а значит –сходится по принципу сравнения.

• Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

Получаем, что –расходится.

Пример:

Ряд – .

Получаем – ряд сходится.

7. Интегральный признак Коши:

, при .

Доказательство:

и

Значит, если – сходится – сходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряды вида: , где .

Теорема Лейбница

Если и , то ряд – сходится.

Доказательство:

Пусть , тогда

. При

. ограниченна сверху .

Так как – возрастает и ограниченна сверху

Пример: – сходится.

Пусть дан ряд , тогда

1. 1. – сходится, тогда ряд – абсолютно сходится.

• – расходится и – сходится, тогда ряд сходится условно.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов не меняет сумму.

Если ряд сходится условно, то подходящей перестановкой можно сделать его сумму равной любому числу и даже сделать его расходящимся.

Действия над рядами

, – абсолютно сходящиеся.

Тогда – абсолютно сходится.

Функциональные ряды

, где – функция.

Область сходимости

Пусть фиксировано.

Тогда сходится, если –точка сходимости, и расходится, если – точка расходимости.

– область сходимости.

Пример:

, то ряд сходится.

, где – остаток ряда.

Если ряд сходится, то

Мажорируемые ряды

, где – мажорируемы.

Тогда – мажоранжа (если ряд сходится), при .

Теорема. О непрерывности суммы ряда

Пусть .

– сходится и , – непрерывна на .

Тогда – непрерывна на .

Доказательство:

(из определения непрерывности)

,

где .

При и .

Отсюда

Пример:

на

, разрыв при

Теорема. О почленном интегрировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – интегрируемы на ( – существует). Тогда

Теорема. О почленном дифференцировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – дифференцируемы на (– существует). Тогда

9.2. Степенные ряды

, где – коэффициент, – произвольная точка, .

Частный случай:

Теорема Абеля: У каждого степенного ряда существует радиус сходимости.

, при

– сходится

– расходится.

– точка сходимости.

Если , то , т.е. – мажорируемый.

Область сходимости:

– сходится при

Пример:

– сходится при .

Теорема. Радиус сходимости определяется как .

Доказательство:

Возьмем , тогда

По признаку Даламбера:

Отсюда или

Внутри радиуса сходимости степенной ряд мажорируем, его сумма непрерывна, его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Пример:

• 

 

или при ряд сходится.

• 

, значит ряд сходится при любых

• 

, значит при ряд сходится.

Разложение функций в степенной ряд

– ряд Тейлора.

, тогда

При

– ряд Маклорена.

Разложение некоторых функций в степенной ряд

1. 1. 

или – любое.

1. 1. 

или – любое.

1. 1. 

или – любое.

1. 1. или при ряд сходится

• 

 

или при ряд сходится

Сумма знакочередующегося ряда имеет погрешность не превосходящую первого отброшенного члена.

• 

 

• 

Пример:

• 

Имеем

Получаем

• 

Считая, что

Пример:

Контрольные примеры:

1. 1. Разложим в ряд и посчитаем

1. Разложим в ряд и посчитаем

Пример разложения функции в ряд Маклорена:

Получаем

10. Дифференциальные уравнения

10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.

Общий вид ,

где n — порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.

Примеры:

Общее решение — это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение — это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:

Пример:

— дифференциальное уравнение в дифференциалах.

или

— общий интеграл.

Задача Коши. Начальные условия: и

Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

– уравнение, разрешенное относительно производной.

Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевской).

Пусть непрерывна в открытой области Д и .

Открытая область – это область без своей границы.

– существует и непрерывна в Д, гладкая по .

Пусть

Тогда имеется решение такое, что , и это решение единственное.

УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).

— УРП, если .

— разделение переменных

— общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример:

Однородное уравнение 1-ого порядка.

— называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.

— однородная функция n-ого измерения если

(0-е измерение)

(2-ого порядка)

(неоднородная)

Введем новую функцию:

Уравнение примет вид:

— уравнение с разделяющимися переменными

Пример:

Линейные уравнение 1-ого порядка и их решение

Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде: , где и — произвольные функции от .

— линейное уравнение без правой части.

Два метода решения линейных уравнений:

1. Метод Бернулли
2. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

1. 1. Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций

Выберем так, чтобы .

1. Метод Лагранжа:

— уравнение без правой части.

(2)

— удовлетворяет уравнению (2).

Пример:

1)

2)

10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

(****), и — константы – неоднородное или с правой частью.

(***) — однородное или без правой части.

— общее решение уравнения (****), где — общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где и — произвольные постоянные, а и — линейно независимые решения (***).

— какое-либо частное решение уравнение (****).

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.

Будем искать и в виде .

Подставим в уравнение (***).

— характеристическое уравнение для уравнения (***).

Случай 1)

и — действительные различные корни.

Случай 2)

, где — корень уравнения кратности 2.

Подставим в уравнение (***).

, так как — это корень.

Случай 3) , где -мнимая единица .

Подставим в уравнение (***).

— линейно независимые, следовательно:

Пример:

1. 1. 

1. 1. 

1. 1. 

1. 

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.

— ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.

а)

,где А — неопределенный коэффициент.

Пример:

б)

Общий случай

— характеристическое уравнение.

а) Если не корень характеристического уравнения:

б) Если корень характеристического уравнения кратности