Теория вероятностей

1. Теория вероятностей

1.1. Случайное событие

1.2. Алгебра событий (Булева алгебра)

1.3. Вероятность

1.4. Условная вероятность

1.5. Вероятность появления хотя бы одного из события

1.6. Формула полной вероятности

1.7. Формула Бейеса

1.8. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли

2. Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины

2.2. Дискретные случайные величины

Задания и решения

1. Теория вероятностей

1.1. Случайное событие

Опыт или случайное событие – действие или ряд действий, который может быть повторен многократно, и который заканчивается не некоторым исходом.

Опыт:

— исход

— пространство элементарных исходов. Все исходы равно возможны.

Случайным событием называется подмножество множества .

Случайным событием называется событие, которое в результате данного опыта может произойти, а может и не произойти.

— называются совместными, если в результате опыта элементарный исход принадлежит и .

— несовместны.

— невозможное событие, если оно не имеет элементарных исходов

— достоверное, если оно в результате опыта обязательно произойдет.

Вероятность случайного события некоторая числовая характеристика или мера этого события.

— сумма событий (сложение) – событие состоящие в том, что произойдет A или B или оба.

— это событие, состоящее в том, что произойдет и A и B вместе.

— отрицание события A.

Диаграмма Эйлера-Венна.

1.2. Алгебра событий (Булева алгебра)

Свойства операций:

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• Правило Моргана
• 

 

 

 

— противоположное событие (отрицание).

Пусть — события, что (несовместимые между собой)

— образуют достоверное событие

— полная группа событий

1.3. Вероятность

Аксиоматическое определение вероятности

Опыт.

ММ,ДМ,МД,ДД

• — аксиома не отрицательности.
• — аксиома нормированности.
• Аксиома одитивности.

, если и несовместны.

— статистическая вероятность(относительная частота события)

— число благоприятных исходов.

— число всего опытов.

Классическая вероятность

— конечное множество состоит из элементарных исходов.

, где — это общее число всех исходов, а — это число благоприятствующих исходов.

Формулы комбинаторики

• Перестановки из элементов — это упорядоченное множество из элементов, число перестановок .
• Сочетания из элементов по элементов — называется подмножества элементов из , без повторений.

• Размещение из элементов по — упорядоченное подмножество элементов из элементов.

Схема урн

= “2”к и “3”б

= “5”б

Геометрическая вероятность

1)

2)

Задача о встрече:

Теорема сложения

1. Пусть и — несовместны тогда .
2. Пусть и — совместны тогда .

Доказательство:

Пример:

— “курит” .

— “живет в общежитии” .

1.4. Условная вероятность

и — называются независимыми, если вероятность события не зависит от того, произошло ли событие и наоборот.

— условная вероятность события при условии, что событие произошло.

Теорема умножения

Если и — независимы, то .

Пример:

— 1й — б

— 2й — б

Теорема умножения для 3-х событий

Пример:

— 1й — б

— 2й — к

— 3й — ч

1.5. Вероятность появления хотя бы одного из события

Опыт:

Двое стреляют

— вероятность попадания 0,8.

— вероятность попадания 0,6.

A — вероятность, что хотя бы один попал.

— оба промаха.

— произошло хотя бы одно событие из .

— ни одно из событий не произошло.

— перегорит лампа.

— цепь не работает.

1.6. Формула полной вероятности

Пусть А – событие, которое происходит при наступлении одного из событий, которые образуют полную группу.

Доказательство:

– несовместны

Пусть , тогда

, , …, – гипотезы

Из всех групп выбирается только одна.

Пример:

Идет сдача экзамена

I – 20

II – 10

III – 15

– студент сдал экзамен

– случайно выбранный студент сдал экзамен

1.7. Формула Бейеса

Пусть событие уже произошло, тогда какова вероятность того, что произошло событие .

Полная вероятность , отсюда

Доказательство:

Пример:

1. 1. 

• 
• 

Полная вероятность

Пусть произошло, тогда

1.8. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли

Испытания независимы, если вероятность элементарных исходов не зависят от предыдущих испытаний.

– число независимых испытаний

– может произойти с вероятностью

С какой вероятностью событие произойдет раз

, где

– вероятность успеха

– вероятность неуспеха

– число сочетаний способов

Доказательство:

Пример:

10 раз бросим монету, какова вероятность того герб выпадет 5 раз

Вероятность того, что событие произойдет от до раз в испытаниях:

Приближенные формулы в схеме Бернулли.

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Если достаточно велико, то вероятность в схеме Бернулли

, где

– количество испытаний

– вероятность успеха

– вероятность неуспеха

– функция Гаусса

, где , – ожидаемое количество успехов

Пример:

Свойства функции Гаусса:

– четная функция

– наивероятнейшее число успехов

Пример:

Наивероятнейшее число успехов

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

 

Пусть – число испытаний (очень велико), тогда

, где

– функция Лапласа

Свойства функции Лапласа:

Функция нечетная, то есть

Пример:

1. 
2. 
3. 

1. 1. 

1. 1. 

1. 

– практически достоверно

Правило трех сигм

 

Пример:

Формула Пуассона

Если достаточно велико, а мало

– среднее значение успехов в испытаниях.

, где

Пример:

вызовов в час, какова вероятность того, что в течении 1 мин поступит вызовов.

Отклонение частоты вероятности

Пример:

Парадокс раздачи подарков:

1. 1. – человек. Какова вероятность того, что каждому достанется свой подарок.

При

1. – подарков, – человек. Какова вероятность того, что какой – то человек получит подарков.

По формуле Пуассона:

– среднее число подарков

2. Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное значение.

1. Опыт бросания монеты 2 раза {ГГ, ГР, РГ, РР}
2. Бросание кубика
3. Схема Бернулли – число успехов в испытаниях
4. Стрельба по мишени, – расстояние от точки попадания до центра
5. Группа из человек, – число мальчиков
6. – время до отказа одного прибора
7. – вес случайного студента

Дискретные случайные величины – это величины, которые могут принимать конкретное или счетное число значений.

Непрерывные случайные величины – это величины, которые могут принимать несчетное множество значений.

2.2. Дискретные случайные величины

Закон распределения есть соответствие между значениями случайных величин и их вероятностями.

Может задаваться:

1. Таблично

2. Графически

3. Аналитически

1. Таблично