7. Интегральное исчисление

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

7.1.2. Основные методы интегрирования

7.1.3. Таблица интегралов

7.2. Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

7.2.2. Приложения определенного интеграла

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где — произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. 1. Производная неопределенного интеграла: .
   2. Дифференциал неопределенного интеграла: .
   3. Неопределенный интеграл от дифференциала: .

• Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций:;

4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:;

4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

7.1.2. Основные методы интегрирования

1. 1. использование свойств неопределенного интеграла;
   2. подведение под знак дифференциала;
   3. метод замены переменной:

а) замена в интеграле :

где — функция, интегрируемая легче, чем исходная; — функция, обратная функции ; — первообразная функции ;

б) замена в интеграле вида :

;

1. 1. метод интегрирования по частям: .

7.1.3. Таблица интегралов

1. Степенная функция

частные случаи

,

2. Показательная функция
частный случай

3. Рациональные функции

4. Иррациональные функции

5. Тригонометрические функции

6. Содержит тригонометрические функции

7.2. Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

,
где

Свойства определенного интеграла

1. 1. Интеграл от суммы или разности двух функций: .

• Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:

.

• Свойство аддитивности: .
• Неотрицательность интеграла: если ,, то .
• Сохранение неравенства: если и , то .
• Теорема о среднем: , где , — непрерывна на .
• Формула Ньютона-Лейбница: , где — первообразная для .
• Интегрирование по частям: .
• Замена переменной:

а)

, где , , и непрерывна на , а непрерывна и монотонна на

б) , где u=j (x), c=j (a), d=j (b).

7.2.2. Приложения определенного
интеграла