Справочник по Высшей математике

1. Линейная алгебра

1.1. Определители (детерминанты)

1.2. Матрицы

1.3. Системы линейных уравнений

2. Векторная алгебра

3. Аналитическая геометрия

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

3.1.2. Плоскость в пространстве

3.1.3. Прямая в пространстве

3.2. Кривые второго порядка

3.2.1. Окружность

3.2.2. Эллипс

3.2.3. Гипербола

3.2.4. Парабола

3.3. Поверхности второго порядка

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

4. Комплексные числа

4.1. Алгебраическая форма комплексного числа

4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4.4. Показательная форма комплексного числа

4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

5. Введение в анализ

5.1. Функции. Общие свойства

5.2. Основные элементарные функции

5.3. Теория пределов

5.4. Непрерывность функции

6. Дифференциальное исчисление

6.1. Определение производной

6.2. Основные правила дифференцирования

6.3. Производные основных элементарных функций

6.4. Гиперболические функции

6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

6.6. Исследование функций

7. Интегральное исчисление

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

7.1.2. Основные методы интегрирования

7.1.3. Таблица интегралов

7.2. Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

7.2.2. Приложения определенного интеграла

1. Линейная алгебра

1.1. Определители (детерминанты)

Обозначения определителя матрицы А: D , det A, .

Определитель второго порядка: .

Определитель третьего порядка:

Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:

Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:

-алгебраическое дополнение элемента , ,

-минор элемента , т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

1.2. Матрицы

Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов):

,   где ; .

Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и .

Квадратная матрица порядка n: .

Сложение матриц: , где .

Свойства сложения матриц:

1) ассоциативность: ;

2) коммутативность: ;

Умножение матрицы на число: .

Умножение матриц: .

Свойства умножения матриц:

1. 1. ассоциативность: ;
   2. некоммутативность.
   3. определитель произведения квадратных матриц: .

Транспонирование матрицы: .

Свойство транспонирования произведения матриц: .

Невырожденная (неособая) матрица: .

Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .

Свойства обратной матрицы:

1) ;

2) .

Виды матриц:

единичная матрица:

симметрическая матрица:

ортогональная матрица: A — невырождена и

кососимметрическая матрица: ;

матрица-строка:

матрица-столбец: .

Ранг матрицы — наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

1.3. Системы линейных уравнений

— неизвестные;aij –коэффициент в i-ом уравнении при j-ом неизвестном;   — свободные члены.

Матричный вид: , — матрица системы,

— столбец неизвестных,

— столбец свободных членов.

Совместность системы: , где — расширенная матрица системы (теорема Кронекера-Капелли).

Формулы Крамера (n=m): , — определитель матрицы системы; -определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.

Однородная система (B=0):

Если , то система имеет только нулевое решение .Если , то существуют ненулевые решения.

2. Векторная алгебра

Наименование	Обозначение, формула
Вектор и его выражение в декартовых координатах	a=ax i+ay j+az k=(ax, ay, az)
Модуль (длина) вектора
Направляющие косинусы вектора
Сложение двух векторов	a+b=(ax+bx, ay+by ,az+bz)
Умножение вектора на скаляр	ka=(kax, kay, kaz)
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение в декартовых координатах	ab=axbx+ayby+azbz
Условие ортогональности двух ненулевых векторов	ab=0 a b
Векторное произведение двух векторов	, e a, e be — единичный вектор a, b, e — правая тройка векторов
Векторное произведение в декартовых координатах
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов	a || b
Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение в декартовых координатах
Условие компланарности трех ненулевых векторов	abc=0 a, b, c — компланарныe векторы (лежат в одной плоскости)
Линейно независимая система векторов	{a1,a2,…,an} — линейно независима только при условии .

3. Аналитическая геометрия

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений