Математический анализ

1. Введение в анализ. Теория пределов

1.1. Комплексные числа

1.2. Функция, способы задания, простейшие свойства

1.3. Предел функции, свойства пределов

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

2. Дифференциальное исчисление

2.1. Производная функции, её физический и геометрический смысл

2.2. Правила дифференцирования

2.3. Дифференциал

2.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

2.5. Формула Тейлора

2.6. Монотонность, экстремумы функции

2.7. Выпуклость и вогнутость функции

2.8. Асимптоты

2.9. Исследование функции

3. Интегральное исчисление

3.1. Понятие первообразной и неопределенный интеграл

3.2. Таблица интегралов

3.3. Основные методы интегрирования

3.4. Понятие определенного интеграла и его вычисление

3.5. Приложения определенного интеграла

Примеры решения задач

1. Введение в анализ

1.1. Комплексные числа (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i ² = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

0+bi = bi — чисто мнимое число

a + 0i = a — действительное число

0 + 1i = i	1 + 0i = 1	0 + 0i = 0
мнимая единица	обычная единица	обычный нуль

Z₁ = a₁ + b₁i

Z₂ = a₂ + b₂i

Действия над КЧ

Z₁ Z₂ = (a₁ a₂) + (b₁ b₂)i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹ = i i² = – 1 i³ = i i⁴ = 1

Z₁ Z₂ = (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + a₁b₂i
+ a₂b₁i
+ b₁b₂i² =

= (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i – произведение КЧ.

Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

Пример:

  – деление КЧ.

 

Пример:

 

Комплексная плоскость

Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ

Аргумент КЧ

Аргумент КЧ – .

Полярная система координат

Декартова система. Полярная система

– полярный радиус, – полярный угол, – полярные координаты.

; 

Пример:

– тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера

– Формула Эйлера

– взаимосвязь между e, i и

– показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим: s

Извлечение корня из КЧ

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

1. 
2. 

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.

1.2. Функция, способы её задания, простейшие свойства

Основные обозначения:

 

N – натуральные числа,

Q – рациональные(дробные),

Z – целые числа,

R – действительные числа;

Счетное множество – это множество, элементы которого можно пересчитать.

– счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное множество.

Множество действительных чисел всюду плотно на числовой оси.

[a, b] – замкнутый интервал,   (a, b) – открытый интервал

Окр [x₀] – окрестность точки x₀ , любой открытый интервал, содержащий x₀.

Окр [x₀] = (a, b), где (a, b) содержит x₀ – это окрестность.

ax₀ = x₀b, – окрестность x₀

Кванторы

1) – кванты всеобщности;

2) – кванты существования.

|x – x₀| – расстояние от точки x до точки x₀

Числовой функцией называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставлено) некоторое значение y.

 

У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

 

Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.

Функции делятся на 2 класса

1. Элементарные
2. Неэлементарные (специальные).

Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

1. Основные элементарные функции
   

    

   а) степенные y = xⁿ

   б) показательные y = a^x

   в) тригонометрические y = sin x и другие.

2. Элементарные, полученные из основных с помощью арифметических операций и операции получения сложной функции (операции композиции).

   f

   

   X          Y         

   

   f ^-1 (обратная функция)

   Обратные к показательным функциям – логарифмические функции. Обратные к тригонометрическим
   

   Пример:

   

   y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

   

Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

Г(f) – график функции. График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

Общие свойства функций

1. Четность –
2. Нечетность –
3. Периодичность –

f(x) – ограниченная сверху, если

f(x) – ограниченная снизу, если

f(x) – ограниченная, если

f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

Свойства модулей суммы и разности

1. 
2. 

1.3. Предел функции. Свойства пределов

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.

     

– предел функции при , равный b.

Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента .
Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры:

y = f(x) =

y = f(x) = x²

1. 
2. 

Пример:

y =, когда ,

Неопределенности:

Раскрытие неопределенностей.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел

Если функция f(x) имеет предел в точке a , то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть , тогда , отсюда получаем .
Обратное неверно.

Контрольный пример:

в окрестности точки 0.

– не существует.

Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.

– бесконечно малая величина (б.м.в.).

• – бесконечно малая величина при
• – бесконечно малая величина при
  s

Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.

– бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

Теорема о связи предела и бесконечно малой величины

Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .

Доказательство:

Допустим, что , тогда .

, значит , – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x² + 1

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной

Если – бесконечно малая величина при    – бесконечно большая величина.

Если – бесконечно большая величина при
– бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что .
Значит

Следствие: и

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

Доказательство:

или , значит – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

Доказательство:

, значит – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .

Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: .
При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;

Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

Теорема 6. Критерий Коши.

Если , тогда и только тогда .

Приемы раскрытия неопределенностей.

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

;

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

Так как ,
то .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

5)

Теорема. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Бином Ньютона:

,
где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что ,
а значит .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

Если принять, что ,
то

Примеры:

1)

Учитывая, что .

2)

. Отсюда A = e.

Учитывая, что .

Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.)

Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .

– более высокого порядка, чем («о» – читается как «о малое»).

– более низкого порядка, чем («О» – читается как «О большое»).

Определение 3. Если , то и эквивалентны – .

Следствие из определения 3: при .

Теорема. Если и эквивалентны (), то и .

Доказательство:

Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ().

Тогда .

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

Определение 1.
Пусть функция определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

Определение 2.
Функция непрерывна, если.

Определение 3.
Функция непрерывна в точке , если .Приращение аргумента . Приращение функции .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если .Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

Определение 5.
Функция непрерывна в точке справа, если .

Определение 6.
Функция непрерывна в точке слева, если .

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).

Доказательство:

Пусть и .

Тогда .

Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

Функция непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y) непрерывна в .

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Разрывы функции

Разрыв первого рода

Пусть и существуют:

I. Если , то в точке функция
испытывает разрыв скачок первого рода.

Примеры:

1. 1.   
   2. – целая часть числа x.

1. – дробная часть от числа x.

II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Разрыв второго рода

Функция испытывает разрыв второго рода, если – не существует.

Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке

Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке .

 

Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на .
Или , где .

 

Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные
значения на .
Или , где – область значений.

 

Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой .
Или .

 

2. Дифференциальное исчисление

2.1. Производная функции. Её физический и геометрический смысл

Пусть функция определенна в окрестности точки .

Тогда , где и .

Производная функции в точке есть предел отношения приращения функции () и приращения аргумента (), когда .

Дифференцируемость

Механический смысл производной

Производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной

Производная – это тангенс наклона угла касательной к график функции в данной точке к оси .

;

при

 

Вычисление производной

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

при

при , следует

Обратное неверно.

Пример:

1)

;

;

; ;

Таблица производных

 

2.2. Правила дифференцирования

1) Производная от суммы равна сумме производных:

Доказательство:

2) Постоянный множитель выносится за знак производной: .

3) Производная произведения: .

Доказательство:

4) Производная дроби: .

Доказательство:

Вывод формул для производных

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Теорема о производной сложной функции

Теорема. Доказательство:

Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки (, определена и непрерывна в окрестности точки . Тогда .

Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.

Теорема о производной обратной функции

Теорема. Доказательство:

Пусть дифференцируемая в точке (). — обратная к . Обратная функция существует если монотонная функция. Тогда

Производная сложной степенной функции

Прием логарифмического дифференцирования.

Производная неявной функции

– общий вид неявно заданной функции.

Производная параметрически заданной функции

Примеры параметрических функций:

1)   

2)

3)

    – дифференцируемы.

Пример:

Гиперболические функции

(гиперболический синус)	arsh x (ареа синус)
(гиперболический косинус)	arсh x (ареа косинус)
(гиперболический тангенс)	arth x (ареа тангенс)
(гиперболический котангенс)	arcth x (ареа котангенс)

Схематичные графики гиперболических функций:

Производные высших порядков

Механический смысл второй производной – это ускорение.

Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.

2.3. Дифференциал

– гладкая, непрерывная и дифференцируемая.

Дифференциалом называется главная (линейная) часть приращения функции.

если

Свойства дифференциала:

1)

2)

3)

4)

Доказательство для :

Остальные доказываются аналогично.

Инвариантность формы дифференцирования

Форма дифференциала функции (производная умножить на дифференциал аргумента), не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функций другого аргумента.

2.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля, теорема о корнях производных

Доказательство:

Пусть гладкая на , .

Тогда :

Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.

при

при

Теорема Коши о среднем

Доказательство:

Пусть — гладкие на .

на

Тогда : , где .

F – гладкая на отрезке .
По теореме Ролля : .

по условию, а так как иначе по теореме Ролля , что противоречит условию.

Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях

Доказательство:

Пусть гладкая на,

Тогда : .

Пусть :

Геометрический смысл

Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.

Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя)

Пусть и гладкие в окрестности и

Тогда

Правило Лопиталя: Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Доказательство:

Применим теорему для и , ,
где а — точка в окрестности .

где .

Примеры:

1)

2)

3)

2.5. Формула Тейлора

Пусть определена и непрерывна и имеет все производные до n-ого порядка включительно, в некоторой точке .

— остаточный член в форме Тейлора.

— полином Тейлора для .

1)

2)

3) , где k=0,1,2,…n.

Запись остаточного члена

– остаточный член в форме Логранжа.

– остаточный член в форме Коши.

– остаточный член в форме Пиано.

Ряд Тейлора

Формула Маклорена

Любой многочлен совпадает со свой формулой Маклорена, при этом постоянный член равен.

1)

2)

3)

4)

5)

2.6. Монотонность, экстремумы функции

Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ().

Доказательство:

x		-1
y		min
	–	0	+

 

Экстремумы функции

Точка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

Необходимый признак экстремума, если -точка экстремума.

Если и , то это точка экстремума.

Если — точка экстремума и существует , то производная =0. Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

,
теорема Логранжа.

Первый достаточный признак экстремума

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

 

Второй достаточный признак экстремума

Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

Пример:

x		1		3
y		Max		Min
	+	0	—	0	+

2.7. Выпуклость и вогнутость функции

Если в окрестности точки, график функции ниже касательной, то в окрестности этой точки график функции выпуклый.

Если в окрестности точки, график функции выше касательной, то в окрестности этой точки график функции вогнутый.

Теорема. В
точке выпуклости 2-ая производная меньше 0. В точке вогнутости вторая производная больше 0.

Доказательство:

Если прямая проходит через точку

Применим теорему Логранжа:

Поставим “-“ в , учитывая, что , тогда должна быть <0.

Второй раз применим теорему Логранжа:

Для вогнутости поставим “+”

должно быть &gt

Точка, в которой вторая производная равна нулю, называется точкой перегиба.

y		п		п
	+	0	—	0	+

 

2.8. Асимптоты

Асимптотой к кривой называется прямая, к которой график функции неограниченно приближается.

Асимптоты:

• Вертикальные
• Наклонные
• Горизонтальные — (частный
  случай наклонной асимптоты)

I. Вертикальные асимптоты всегда имеют уравнение , где – точка разрыва второго рода.

Значит

II. Наклонная асимптота имеет вид .

Пример:

– вертикальная асимптота, т.к.

Наклонная асимптота

Возможный вариант графика функции.

2.9. Исследование функции

План общего исследования функции.

1. Область определения, четность, периодичность.
2. С помощью пределов выясняем непрерывность, ищем асимптоты.
3. С помощью первой производной – монотонность и экстремумы.
4. С помощью второй производной – выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
5. График функции.

Примеры исследования функции

I.

1) Функция нечетная.

2) вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота

3)

4)

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

3) – функция нечетная.

— при

— при

4) наклонных асимптот нет.

— горизонтальная асимптота.

— точка перегиба.

5)

— вертикальная асимптота.

6)

-точка перегиба.

7)

8)

9) Декартов лист.

Полярные координаты

– декартовы координаты.

— полярные координаты.

3. Интегральное исчисление

3.1. Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Основные определения

Функция называется первообразной для функции , если .

Т.1: Если и — первообразные для , то

Доказательство:

; ЧТД.

Неопределенным интегралом от называется класс всех первообразных для .

— подынтегральная функция.

— дифференциал.

— переменная интегрирования.

Для любой непрерывной функции существует первообразная.

Основные тождества

1.

2.

3.

3.2. Таблица интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Доказательство каждого из табличных интегралов осуществляется с помощью дифференцирования (по определению). Например, для 10 и 11 табличных интегралов:

Доказательство:

Основные свойства неопределенного интеграла

— линейность

Следствие:

1.;

2.

3.3. Основные методы интегрирования

Замена переменных под знаком неопределенного интеграла

Интегрирование по частям.

Доказательство:

(формула дифференцирования произведения).

(интегрируем обе части равенства)

(использование основного тождества)

(что и требовалось доказать).

Пример:

1) (замена переменной)

2) (интегрирование по частям)

Дополнительный материал

Интегрирование рациональных дробей. Простейшие дроби и их интегрирование

Все коэффициенты действительные числа.

m , n – целые числа.

Нет общих корней.

Если , то дробь называется неправильной, если , то дробь называется правильной.

Если дробь неправильная, то , где — правильная дробь; — многочлен.

Простейшие дроби:

1.

2. , и целое число.

3. ( в знаменателе неприводимый квадратный трехчлен).

4. , и целое число.

=
= =
= =
=

Разложить рациональные дроби на простейшие

Теорема. Если х = а – корень знаменателя f(x) кратности k , то

Доказательство:

; (1)

Будем подбирать А так, чтобы По теореме Безу это возможно, если

Тогда

Подставим в (1)

Следствие:

Теорема. Если ( — неприводимый квадратный трехчлен. ), то

Доказательство:

Подберем M и N так, чтобы числитель делился на Y :



— по теореме Безу.

M и N можно найти из этой системы всегда.

Следствие: всякая правильная рациональная дробь может быть разложена в сумму простейших дробей.

Пример:

Метод неопределенных коэффициентов

Правую часть равенства (2) надо привести к общему знаменателю и приравнять в числители коэффициенты при одинаковых степенях F(x). Решая полученную систему уравнений можно определить все коэффициенты.

Интегрирование рациональных дробей

1. Выделить целую часть дроби.
2. Разложить знаменатель на множители.
3. Представить в виде суммы простейших дробей.
4. Найти неопределенные коэффициенты.
5. Интегрировать каждую простейшую дробь.

Интегрирование иррациональных функций

3.3.1.

k – общий знаменатель дробей

— рационализирующая подстановка.

Пример:

3.3.2.

k – общий знаменатель дробей

Пример:

3.3.3. Тригонометрические подстановки.

Пример:

— обратные гиперболические функции.

3.4. Понятие определенного интеграла и его вычисление

Определение и свойства

S – область – криволинейная трапеция.

Интегральная сумма:

Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.

Теорема. “О существовании определенного интеграла”

Если f(x) – непрерывна на отрезке (a,b), то определенный интеграл существует и не зависит от порядка разбиения и выбора точек.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции.

Свойства определенного интеграла:

1. 1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 
   6. — аддитивность.
   7. на

Основные теоремы интегрального исчисления

Теорема 1. “об оценке”

Пусть y =f(x) интегрируема на [a ,b] Тогда

Доказательство:

Теорема 2. “о среднем”

Пусть y =f(x) интегрируема на [a ,b] Тогда — где f(c) – среднее значение f(x) на [a ,b].

Доказательство:

По Т.1:

Т.к. f(x) – непрерывна на [a ,b], то она принимает все промежуточные значения от m до M. Следовательно она принимает значение
А. Т.е. существует такая

Теорема 3. “о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу”

Пусть y =f(x) — интегрируема на [a , b] . Тогда

Доказательство:

Теорема 4. “формула Ньютона-Лейбница”

, где F(x) – первообразная для f(x).

Доказательство:

— первообразная для f(x) по Т.3. Т.к. первообразные отличаются на const, то Пусть х=а. F(a)+c=0. c=-F(x). Пусть x=b

Методы вычисления определенного интеграла

Замена переменных под знаком определенного интеграла.

Пример:

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пример:

3.5. Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры (в декартовой системе координат)

— из определения

Площадь плоской фигуры (параметрическое задание)

Пример:

Площадь плоской фигуры (в полярной системе координат)

. . . .

Пример:

Примеры решения задач

Задача 1.

Теоретическое введение

Функцией переменной величины , называется величина такая, что каждому значению , принадлежащей некоторой области , соответствует единственное значение величины .

Обозначение: .

– область определения функции, – аргумент.

– область изменения функции, – значение;

Функция может быть задана аналитически, таблично, графически.

Основными элементарными функциями являются:

1. 1. степенные (, где – произвольное число)

• показательные (, , )
• логарифмические (,, )
• тригонометрические
  (, , , )
• обратные тригонометрические
  (,,, )

Композиция (суперпозиция) двух функций и есть функция, в которой аргументом одной из данных функции, является значение другой функции.
Обозначение: и .

Сложная функция есть композиция двух и более функций.

Элементарная функция есть функция, полученная из основных элементарных функций с помощью арифметических действии и композиции.

Целью математического анализа является изучение различных функций, их свойств, и операций связанных с функциями.

Функция называется четной, если для всех своих аргументов.

Функция называется нечетной, если для всех своих аргументов.

Число называется пределом функции при , стремящемся к и обознается , если при неограниченном приближении к , неограниченно приближается .

Свойства пределов:

• Передел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют:
• Предел произведения функции равен произведению пределов, если они существуют:
• Предел частного двух функций равен частному пределов, если они существуют, и предел знаменателя не равен нулю: , при .

Обычно , например:

Однако, иногда значение не входит в область определения функции .
В этом случае имеются различные методы вычисления пределов:

Выделение общего множителя

1. 1. 
   2. 

Выделение главной части

1. 1. 

       

   2. 

Использование замечательных пределов

Первый замечательный предел:

1. 1. 

       

   2. 

Второй замечательный предел:

1. 
2. 

Задача 2.

Теоретическое введение

Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: или

Механический смысл производной – скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

Правила дифференцирования:

• Производная постоянной величины равна 0.
• Производная суммы равна сумме производных.
• Производная произведения:
• Производная частного:

Производная сложной функции:

Производная от сложной функции по независимому аргументу равна производной от по промежуточному аргументу , умноженной на его производною по независимой переменной .

Примеры:

• ;
• ;
• ;

Задача 4.

Найти неопределенные интегралы:

а) ;

Решение: введем переменную . Тогда ; . Сделаем замену:

.

б) ;

Решение: используем метод интегрирования по частям:

.

Обозначим: .
Тогда .

Задача 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .

Решение:

Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

Итак, точки пересечения и .

Площадь фигуры найдем, используя формулу

.

В нашем случае

Ответ: площадь равна (квадратных единиц).